2004　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の(ア)，(イ)，(ウ)を求めよ．

(1)　$a\text{，}b$は$a>b$を満たす実数とする．放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$における接線を$l\text{，}$点$(b,{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2)$における接線を$m$とする．このとき直線$l$と$m$の交点は(ア)である．

(2)　(1)における$2$直線$l$と$m$が直交するものとする．このとき，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と$2$直線$l\text{，}m$に囲まれる部分の面積の値は(イ)であり，$a=\text{(ウ)}$のときに面積の値が最小となる．

【２】　$x$と$y$を整数，$k$を実数とする．このとき(ⅰ)式と(ⅱ)式をみたす$(x,y,k)$の組をすべて求めよ．

$\begin{array}{ll}kx-y=0& \text{(ⅰ)}\\ x+ky-2k-6=0& \text{(ⅱ)}\end{array}$

【３】　銀行融資の年利率を$r$とする．銀行から$L$円を借り入れた企業の返済は，一年後$x$円，その後毎年$g$の増加率で増えていくとする．返済の最終回は，融資を受けてから$n$年後とする．

(1)　$x$を$L\text{，}n\text{，}r\text{，}g$で表せ．

(2)　$x=200\text{万円，}g=3\%\text{，}r=5\%$とした場合，返済期間$n$をいくら長く設定しても，企業が融資を受けられる額は$1$億円未満であることを示せ．

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，$\pi =180°$とおく．

(1)　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を求めよ．

(2)　$z$を$0$でない複素数として

$x=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$

とおく．この$x$を(1)の$2$次方程式に代入して，$z$の方程式に書き直し，その方程式のすべての解を求めよ．

(3)　（1)と(2)の解を比較して

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{および}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$

の値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$x\text{，}y$を実数とし，$y$は$0$でないとする．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& y\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とし，これらが

${(A-y{A}^{-1})}^2={\displaystyle \frac{x}{2}}E$

を満たすとき，$x=0$ならば，$y=\boxed{\text{(ア)}}$であり，$x=y$ならば，$y=\boxed{\text{(イ)}}$または$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　右図は一辺の長さが$2$の正方形$\mathrm{OBHF}$を$4$等分したものである．点$\mathrm{O}$から出発して，線分に沿って移動する動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は各点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$において，直前に通過した線分を除いて等確率で次の点に向かって移動する．ただし$\mathrm{H}$に到達するか一度通過した点に到達したらそこで運動は終わりとする．動点$\mathrm{P}$が移動距離$4$で$\mathrm{H}$に到達する確率は$\boxed{\text{(エ)}}$である．また移動距離$6$で$\mathrm{H}$に到達する確率は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}\log {\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}dx$

の値は$\boxed{\text{(カ)}}$であり，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left\{{\displaystyle \frac{(2n+1)(2n+2)\cdots (2n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}}\right\}}^{\frac{1}{n}}$

は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　複素数の数列$\left\{z_n\right\}$を

$z_1=2\text{，}{z}_{n+1}={\displaystyle \frac{z_n-i}{z_n+i}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，$z_4=\boxed{\text{(ク)}}$であり，$z_{300}=\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$がある．動点$\mathrm{P}$は$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OB}$上を動くものとする．$\mathrm{P}$から$▵\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する直線をひき，この直線と$▵\mathrm{OAB}$の辺との交点のうち，$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の中点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OB}$上を動くときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)　$\mathrm{P}$ の座標を$(0,t)\text{（}0\leqq t\leqq 2\text{）}$とするとき$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$と直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$a$は実数とする．$3$次方程式$x^3+3a{x}^2+3ax+a^3=0$の異なる実数解の個数は，定数$a$の値によってどのように変わるかを調べよ．