2004　大阪市立大学　後期

【１】　二つの$2$次の正方行列

$T=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

問１　$T^2$を求めよ．

問２　実数を成分とする$2$次の正方行列$X$が$TX=XT$をみたすとき，実数$x\text{，}y$を用いて$X=xT+yE$と表すことができることを示せ．

問３　実数を成分とする$2$次の正方行列$X$が，$X^3=2T$をみたすとき，$TX=XT$であることを示し，このような$X$をすべて求めよ．

【２】　二つの複素数$\alpha \text{，}\beta$は$|\alpha |\ne |\beta |$をみたすとする．複素数平面において，複素数$z$の表す点を$\mathrm{P}(z)$とし，複素数$w=\alpha z+\beta \bar{z}$の表す点を$\mathrm{Q}(w)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\alpha z+\beta \bar{z}=0$ならば$z=0$となることを示せ．

問２　点$\mathrm{P}(z)$が原点$\mathrm{O}$を通る直線上を動くとき，点$\mathrm{Q}(w)$も原点を通る直線上を動くことを示せ．

問３　$0$でない二つの複素数$z_1\text{，}{z}_2$の表す点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．二つの直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が直交するための必要十分条件は

$z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2=0$

であることを示せ．

問４　$l_1\text{，}{l}_2$を原点を通る$2$直線とする．点$\mathrm{P}(z)$が$l_1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(w)$は直線$m_1$上を動き，点$\mathrm{P}(z)$が$l_2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(w)$は直線$m_2$上を動くものとする．原点において直交する$l_1$と$l_2$の組をどのように選んでも$m_1$と$m_2$が直交するための必要十分条件を，$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}n$は自然数とする．最初の持ち点を$a$点として，さいころを$1$回投げるごとに，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のいずれかの目が出たら$1$点を持ち点に加えていくゲームを行う．$6$の目が出た場合はその時点でゲームを終了することとし，その場合の最終の持ち点は$0$点とする．途中で$6$の目が出ないかぎりは，さいころを$n$回投げることにする．次の問いに答えよ．

問１　最終の持ち点の期待値を$a$と$n$を用いて表せ．

問２　最初の持ち点$a$を定めたとき，問１で求めた期待値が最大となる$n$を求めよ．

【４】　一辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AE}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$の中点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BF}$上を$\mathrm{B}$から$\mathrm{F}$まで動くとき，$3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}$を通る平面でこの立方体を切った切り口の図形の面積の最大値および最小値を求めよ．

問２　点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$3$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{Q}$を通る平面でこの立方体を切った切り口の図形の面積の最大値および最小値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

問１　$0<x<\pi$のとき，$\sin x<\pi -x$を示せ．

問２　$0\leqq x\leqq \pi$において，二つの曲線$y=\sin x\text{，}y=x(\pi -x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

問３　問２の図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【４】　$xy$平面において，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{O}(0,0)$と単位円上の動点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{MA}$と線分$\mathrm{OP}$の交点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

問１　三角形$\mathrm{OQN}$の面積$S(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

問２　$S(\theta )$の導関数$S^{\prime }(\theta )$を求めよ．

問３　$S(\theta )$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき最大になることを示せ．