2004 大阪府立大学 中期

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2004 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 複素数平面上で複素数 a b c がそれぞれ表す点 A B C は同一直線上にないものとする. α β γ を複素数の定数として,式

αz +β z+ γ=0

を満たす複素数 z がそれぞれ次の図形を描くとき, β α γα a b c およびその共役な複素数 a b c を用いて表せ.ただし, z z の共役な複素数を表すものとする.

(ⅰ) 直線 AB

(ⅱ) 点 C を通り,直線 AB と直交する直線

(計算の過程を記入しなくてよい.)

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易□ 並□ 難□

【1】

(2) 関係式

An+ 1=2 An +An An +1 n =1 2

を満たす 2 次の正方行列 A1 A2 An が与えられているとする.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  An の逆行列 A n-1 が存在するとき, An+ 1 の逆行列 A n+1 -1 A n-1 2 次の単位行列 E とで表せ.

(ⅱ)  A1= ( 21 32 ) のとき, An -1 n を用いて表せ.

(ⅲ)  A1= ( 26 -1- 3) のとき, An を求めよ.

(計算の過程を記入しなくてよい.)

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【2】 次の問いに答えよ.

(1) 平面上の原点 O( 0,0) 2 A( p,q) B( r,s) は同一直線上にないものとする. 2 つのベクトル OA OB のなす角を θ 0 <θ<π とし, 3 O A B を頂点とする三角形の面積を S0 とする. sinθ S0 p q r s を用いて表せ.

(2)  3 Q0 =(x 0,y 0) Q1= (x1 ,y1 ) Q2=( x2, y2) を頂点とする三角形の面積 T と, 3 P 0=( x 0a , y 0b ) P1 =( x 1a , y 1b ) P2 =( x2 a , y2b ) を頂点とする三角形の面積 S の比 T S を求めよ.ただし, a b は正の定数とする.

(3) 円 x2 +y2 =1 上の 3 (1, 0) (cost ,sint )( cost, -sint ) を頂点とする三角形の面積 S (t) 0 <t<π とその最大値を求めよ.

(4) 楕円 x2 a2 + y2b 2=1 上の 3 点を頂点とする三角形の面積の最大値 M を求めよ.ただし, a b は正の定数とする.

((1),(4)について計算の過程を記入しなくてよい.)

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【3】  4 チーム A B C D のそれぞれが他の 3 チームと 1 回ずつ試合を行う. 4 チームの順位は上位から A B C D の順で,各試合において,順位の上位のチームが下位のチームに勝つ確率を p 負ける確率を q とし,また, 2 チームが引き分ける確率を r とする.ただし, p+q+ r=1 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  1 チームが 3 勝する確率 P1 を求めよ.

(2)  A チームを含む 2 チームが 2 1 分けである確率 P2 を求めよ.

(3)  A チームだけが 2 1 分けである確率 P3 を求めよ.

(4)  A チームと C チームが引き分け,かつ, 4 チームとも 1 1 1 分けである確率 P4 を求めよ.

((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【4】  a b は正の定数とし, xy 平面において不等式

|log xa | +| log yb | 1

で表される領域を D とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 領域 D を図示せよ.

(2) 点 (x, y) が領域 D 上を動くとき, xa + yb の最大値と最小値を求めよ.

(3) 領域 D の面積を求めよ.

((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【5】 次の問いに答えよ.

(1) 関数 h (x) は偶関数, k(x ) は奇関数とするとき, g( x)=h (x) k( x) は奇関数であることを示せ.

(2) 連続な関数 g (x) は奇関数とする.すべての x 0 に対して,

-xx g (t) dt= 0

を示せ.

(3)  a b を定数とし,連続な関数 f (x) f (0)= 1 であり,また,すべての実数 x に対して,

-xx f (t) dt=a {(x2 -1) cosx- 2x sinx} +b{ (x2 -1) sinx+ 2x cosx}

がなりたつとする.このとき, a b の値を定め, f(x ) f (-x) の関係式を求めよ.

(4)  f(x ) は(3)におけるものとする.すべての x 0 に対して,

-xx {f( t)}2 dt -xx { (t2 +1) cost }2 dt

を示せ.