2004　大阪府立大学　中期MathJax

【１】

(1)　複素数平面上で複素数$a\text{，}b\text{，}c$がそれぞれ表す点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は同一直線上にないものとする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を複素数の定数として，式

$\alpha z+\beta \bar{z}+\gamma =0$

を満たす複素数$z$がそれぞれ次の図形を描くとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\text{，}{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}$を$a\text{，}b\text{，}c$およびその共役な複素数$\bar{a}\text{，}\bar{b}\text{，}\bar{c}$を用いて表せ．ただし，$\bar{z}$は$z$の共役な複素数を表すものとする．

(ⅰ)　直線$\mathrm{AB}$

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$を通り，直線$\mathrm{AB}$と直交する直線

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(2)　関係式

$A_{n+1}=2A_n+A_n{A}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす$2$次の正方行列$A_1\text{，}{A}_2\text{，}\cdots \text{，}{A}_n\text{，}\cdots$が与えられているとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A_n$の逆行列${A_n}^{-1}$が存在するとき，$A_{n+1}$の逆行列${A_{n+1}}^{-1}$を${A_n}^{-1}$と$2$次の単位行列$E$とで表せ．

(ⅱ)　$A_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$のとき，${A_n}^{-1}$を$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$A_1=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ -1& -3\end{array}\right)$のとき，$A_n$を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　平面上の原点$\mathrm{O}(0,0)$と$2$点$\mathrm{A}(p,q)\text{，}\mathrm{B}(r,s)$は同一直線上にないものとする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を頂点とする三角形の面積を$S_0$とする．$\sin \theta$と$S_0$を$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を用いて表せ．

(2)　$3$点${\mathrm{Q}}_0=(x_0,y_0)\text{，}{\mathrm{Q}}_1=(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{Q}}_2=(x_2,y_2)$を頂点とする三角形の面積$T$と，$3$点${\mathrm{P}}_0=({\displaystyle \frac{x_0}{a}},{\displaystyle \frac{y_0}{b}})\text{，}{\mathrm{P}}_1=({\displaystyle \frac{x_1}{a}},{\displaystyle \frac{y_1}{b}})\text{，}{\mathrm{P}}_2=({\displaystyle \frac{x_2}{a}},{\displaystyle \frac{y_2}{b}})$を頂点とする三角形の面積$S$の比${\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．ただし，$a\text{，}b$は正の定数とする．

(3)　円$x^2+y^2=1$上の$3$点$(1,0)\text{，}(\cos t,\sin t)\text{，}(\cos t,-\sin t)$を頂点とする三角形の面積$S(t)\text{（}0<t<\pi \text{）}$とその最大値を求めよ．

(4)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の$3$点を頂点とする三角形の面積の最大値$M$を求めよ．ただし，$a\text{，}b$は正の定数とする．

（(1)，(4)について計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　$4$チーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のそれぞれが他の$3$チームと$1$回ずつ試合を行う．$4$チームの順位は上位から$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順で，各試合において，順位の上位のチームが下位のチームに勝つ確率を$p\text{，}$負ける確率を$q$とし，また，$2$チームが引き分ける確率を$r$とする．ただし，$p+q+r=1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$チームが$3$勝する確率$P_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$チームを含む$2$チームが$2$勝$1$分けである確率$P_2$を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$チームだけが$2$勝$1$分けである確率$P_3$を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{C}$チームが引き分け，かつ，$4$チームとも$1$勝$1$敗$1$分けである確率$P_4$を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　$a\text{，}b$は正の定数とし，$xy$平面において不等式

$|\log {\displaystyle \frac{x}{a}}|+|\log {\displaystyle \frac{y}{b}}|\leqq 1$

で表される領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$上を動くとき，${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　領域$D$の面積を求めよ．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$h(x)$は偶関数，$k(x)$は奇関数とするとき，$g(x)=h(x)k(x)$は奇関数であることを示せ．

(2)　連続な関数$g(x)$は奇関数とする．すべての$x\geqq 0$に対して，

${\displaystyle {\int }_{-x}^x}g(t)dt=0$

を示せ．

(3)　$a\text{，}b$を定数とし，連続な関数$f(x)$は$f(0)=1$であり，また，すべての実数$x$に対して，

${\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt=a\{(x^2-1)\cos x-2x\sin x\}+b\{(x^2-1)\sin x+2x\cos x\}$

がなりたつとする．このとき，$a\text{，}b$の値を定め，$f(x)$と$f(-x)$の関係式を求めよ．

(4)　$f(x)$は(3)におけるものとする．すべての$x\geqq 0$に対して，

${\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\{f(t)\}}^{2}dt\geqq {\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\{(t^2+1)\cos t\}}^{2}dt$

を示せ．