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2004-13331-0201
2004 学習院大学 理学部
40点
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数として, x の 3 次式
f⁡(x )=4⁢ x3- 4⁢a⁢ x2+ (a2 +3)⁢ x+a2 +4⁢ a+7
を考える.
(1) 次の条件(*)を満たす実数 m を求めよ.
(*) 任意の a について f⁡ (m)= 0 が成り立つ.
(2) 3 次方程式 f⁡ (x)= 0 の 3 つの解を複素数平面上に図示するとき,それらが正三角形の頂点となるように a を定めよ.
2004-13331-0202
【2】 平面上に放物線
C:y= - 12⁢ x2
と直線
L:x+ y=1
があり, L 上に点 P がある.
(1) C の接線で P を通るものが 2 本あることを示せ.
(2) (1)での 2 本の接線と C との接点をそれぞれ A ,B とする. P が L 上を動くとき,線分 AB の長さの最小値と,最小値を与える P の座標を求めよ.
2004-13331-0203
【3】 平面上で円 x2 +y2 =1 の内側にあり円 (x+1 )2+ y2= 2 の外側にある部分を, y 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.
2004-13331-0204
【5】との選択
30点
【4】 2 つのサイコロを投げて,出た目の数をそれぞれ a ,b とする. a と b がともに偶数の場合は和 a+ b を得点とし,それ以外の場合は積 a⁢ b を得点とする.
(1) 得点が 6 である確率を求めよ.
(2) 得点が 8 である確率を求めよ.
(3) 得点の期待値を求めよ.
2004-13331-0205
【4】との選択
【5】 与えられた自然数 N に対して自然数 A ,B ,C で関係
A2+ 2⁢B 2=C 2 ,C≦ N
を満たすものをすべて求める次のプログラムを完成させよ.
100 INPUT N
⋯