2004　学習院大学　理学部MathJax

【１】　$a$を実数として，$x$の$3$次式

$f(x)=4x^3-4a{x}^2+(a^2+3)x+a^2+4a+7$

を考える．

(1)　次の条件(＊)を満たす実数$m$を求めよ．

(＊)　任意の$a$について$f(m)=0$が成り立つ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$の$3$つの解を複素数平面上に図示するとき，それらが正三角形の頂点となるように$a$を定めよ．

【２】　平面上に放物線

$C:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$

と直線

$L:x+y=1$

があり，$L$上に点$\mathrm{P}$がある．

(1)　$C$の接線で$\mathrm{P}$を通るものが$2$本あることを示せ．

(2)　(1)での$2$本の接線と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$が$L$上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，最小値を与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　平面上で円$x^2+y^2=1$の内側にあり円${(x+1)}^2+y^2=2$の外側にある部分を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$2$つのサイコロを投げて，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}b$とする．$a$と$b$がともに偶数の場合は和$a+b$を得点とし，それ以外の場合は積$ab$を得点とする．

(1)　得点が$6$である確率を求めよ．

(2)　得点が$8$である確率を求めよ．

(3)　得点の期待値を求めよ．

【５】　与えられた自然数$N$に対して自然数$A\text{，}B\text{，}C$で関係

$A^2+2B^2=C^2\text{，}C\leqq N$

を満たすものをすべて求める次のプログラムを完成させよ．

100 INPUT N

$\cdots$

$\cdots$