2004　学習院大学　法学部MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$は

$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\angle \mathrm{A}=60°$

を満たしているとする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　文字をいくつか並べたものをワードと呼ぶことにする．また，並んだ文字の個数をワードの長さと呼び，ワードに使われた異なる文字の集まりをそのワードの文字セットと呼ぶ．たとえば，$aaba$は文字セットが$a\text{，}b$で長さが$4$のワードであり，$caacb$は文字セットが$a\text{，}b\text{，}c$で長さが$4$のワードである．

(1)　文字セットが$a\text{，}b$で長さが$3$のワードをすべてあげよ．

(2)　文字セットが$a\text{，}b\text{，}c$で長さが$4$のワードは全部でいくつあるか．

【３】　条件

$x\leqq 1\text{かつ}{(x-1)}^2+{(ax-2)}^2=1$

を満たす$x$が存在するような実数$a$の範囲を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$に対して，$2$つの関数

$f(x)=3x+a\text{，}g(x)=3x+b$

を考え

$A={\displaystyle {\int }_0^1}{f(x)}^{2}dx\text{，}B={\displaystyle {\int }_0^1}{g(x)}^{2}dx\text{，}C={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)g(x)dx$

とおく．

(1)　$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

(2)　不等式$AB\geqq C^2$が成り立つことを示せ．