2004　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(1)　ある整式$P(x)$を$(x-1)(x+2)$で割ると$4x-1$余る．この整式$P(x)$を$x+2$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(2)　複素数$z$が$z^2=2i$を満たすとき，$z=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-1|dx=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(4)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を用いると，${\log }_{10}(\sqrt{21}-\sqrt{6})+{\log }_{10}(\sqrt{10}+\sqrt{35})$の値（小数第$5$位を四捨五入したもの）は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(5)　$\sin 10°\sin 50°\sin 70°=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と表すとき，$k=\boxed{\text{(カ)}}\text{，}l=\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$3$辺の長さが$5\text{，}7\text{，}8$である三角形がある．この三角形の外接円の半径は$\boxed{\text{(ク)}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　ある数列$\left\{a_n\right\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$と表す．この数列が関係式$S_n=2a_n+n$を満たすとき，初項は$a_1=\boxed{\text{(コ)}}$であり，一般項は$a_n=\boxed{\text{(サ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$0°\leqq \theta <360°$のとき，関数$y=\cos 2\theta -\cos \theta$の最大値は$\boxed{\text{(シ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの袋がある．袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個，白玉$3$個が入っていて，袋$\mathrm{B}$には赤玉$3$個，白玉$2$個が入っている．$n=1\text{，}2$として次の試行を行う．まず袋$\mathrm{A}$から玉を$n$個取り出して袋$\mathrm{B}$に加える．次に袋$\mathrm{B}$から玉を$n$個取り出して袋$\mathrm{A}$に加える．この試行を行って，袋$\mathrm{A}$に赤玉$2$個，白玉$3$個入っている確率を$p_n$とする．このとき$p_1=\boxed{\text{(セ)}}\text{，}{p}_2=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　$2$次関数$y=x^2$のグラフを曲線$C$とし，点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$を曲線$C$上の点とする．（ただし$p>q$とする．）また点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}m$とし，曲線$C$と$2$直線$l\text{，}m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えなさい．なお，解答欄には最も適する数，座標または式を記入しなさい．

(1)　$2$直線$l\text{，}m$の交点の座標を$p$と$q$を用いて表せ．

(2)　面積$S$を$p$と$q$を用いて表せ．

(3)　$2$直線$l\text{，}m$が直交するとき，$p$と$q$の満たす関係式を書け．

(4)　$2$直線$l\text{，}m$が直交するように点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が動くとき，面積$S$の最小値を求めよ．

【４】　$a>0$とする．$3$次関数$f(x)$で$f(0)=0\text{，}{f}^{\prime }(a)=0\text{，}{f}^{\prime }(2a)=0$を満たし，

$\underset{x\to a}{\lim }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{x-a}}=-6a$

が成り立つものを考える．次の問いに答えなさい．

(1)　$3$次関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$3$次関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値を求めよ．

(3)　$3$次関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．$M(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　$M(a)$を(3)で求めたものとする．$a$が$a>0$を満たしつつ動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．

【５】　以下のような，$2$以上の自然数$n$に関する命題${\mathrm{P}}_n$について考える．

命題${\mathrm{P}}_n$

『座標平面において，$y$軸に平行な$2n$本の直線$x=k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$と$x$軸に平行な$2n$本の直線$y=l\text{（}l=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$がある．ここで，$y$軸に平行な$2n$本の直線のうち$n$本を実線で表し，残りの$n$本を点線で表す．同様にして，$x$軸に平行な$2n$本の直線のうち$n$本を実線で表し，残りの$n$本を点線で表す．このとき，実線で表される直線をどのように選んだとしても，必ず実線で囲まれた正方形が$1$つ以上存在する．」

　例えば，$n=3$の場合で，実線で表される直線として$x=3\text{，}4\text{，}5$と$y=3\text{，}4\text{，}6$を選んだとする．このとき，実線で囲まれた正方形として$x=3\text{，}5$と$y=4\text{，}6$で囲まれたものなどが挙げられる．

　次の問いに答えなさい．

(1)　命題${\mathrm{P}}_n$が成り立たない例を$1$つ図で示せ．

(2)　命題${\mathrm{P}}_3$は成り立つことを証明せよ．

(3)　$n$が$4$以上の自然数の場合も，命題${\mathrm{P}}_n$は成り立つことを証明せよ．