2004 慶応義塾大学 経済学部MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1)  4 個のサイコロを同時にふるとき, 4 個のサイコロの目がすべて 5 以上になる確率は

(1) (2) (3) (4)

となります.

(2)  4 個のサイコロを同時に振る試行を n 回繰り返します. n 回のうち少なくとも 1 回は 4 個のサイコロの目がすべて 5 以上になる事象を P とします.事象 P が起こる確率は

1-( (5) (6) (7) (8) )n

となります.

(3) (2)で定義した事象 P が起こるときは得点が 2 点,起こらないときは得点が (-1 ) 点であるとします.得点の期待値が正となるための必要十分条件は

n (9) (10)

で与えられます.ただし,

log10 3=0.4771 log10 2= 0.3010

として計算してください.

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【2】  ABC において

AB=2 BC=4 CA =3

とします.ベクトル b c

b =AB c =AC

によって定めます.

(1) ベクトル b c の内積は

b c = (11) (12) (13) (14)

となります.

(2) 以下 ABC の内心を D とします.内心 D A 2 等分線上にあることから,ベクトル AD

1 2 b +1 (15) c

の実数倍になります.このことを用いると

AD = (16) (17) (18) (19) b+ (20) (21) (22) (23) c

であることがわかります.

(3) 内心 D から辺 AB に下ろした垂線の足を H とします.このとき

AH = (24) (25) (26) (27) b

であることがわかります.

(4)  ABC の内接円の半径は

(28) (29) (30)

となります.

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【3】 漸化式

xn+ 1=4 xn (1- xn ) n= 0 1 2 3

と初項 x0 で定まる数列

x0 x1 x2 x3

について考えます.ただし,初項 x0

0<x0 1

を満たすとします.

(1) 条件

xn= x0 n =1 2 3

が成立するとき,初項 x0

x0= (31) (32) (33) (34)

であることがわかります.

(2) 条件

x2 n=x 0 n=1 2 3 )かつ x2 n-1 x0 n= 1 2 3

が成立するとき,初項 x0

x0= (35) (36) ± (37) (38) (39)

であることがわかります.

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【4】(1)  (a+ 1)5 の展開式を求めてください.

(2) (1)を用いて, 65- 1 52 の倍数であることを示してください.

(3) 任意の自然数 n に対して,

6 5n- 1 5 n+1 の倍数である」

が成立することを数学的帰納法を用いて証明してください.

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【5】  2 次関数

f(x )=x2 +a x+b

01 f (x) dx=0

を満たすとします.

(1)  2 次方程式 f (x)= 0 が異なる 2 実根を持つことを示してください.

(2)  2 次方程式 f (x)= 0 2 根を α β とします. |α- β| のとり得る値の範囲を求めてください.

2004 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【6】(1) 実数全体を定義域とする関数 F (x) G (x) をそれぞれ

F(x )=4- |x- 2| G( x)= |x| -|x +4|

によって定義します.グラフ y= F(x ) y= G(x ) を同じ座標平面に図示してください.

(2) (1)で与えた 2 つの関数を用いて座標平面の部分集合

を定めます.そして D1 D2 を用いて

D=D1 D2

と定めます. D の点 (x, y) に対して,関数

f(x ,y)= y2+ 4x- 10y

を考えます.点 P( x,0) D を動くとき, f(x ,0) の最小値を求めてください.

(3) 点 P( x,y) D を動くとき, f(x ,y) の最小値を求めてください.

inserted by FC2 system