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2004-13338-0301
2004 慶応義塾大学 経済学部
2月17日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) 4 個のサイコロを同時にふるとき, 4 個のサイコロの目がすべて 5 以上になる確率は
(1) (2) (3) (4)
となります.
(2) 4 個のサイコロを同時に振る試行を n 回繰り返します. n 回のうち少なくとも 1 回は 4 個のサイコロの目がすべて 5 以上になる事象を P とします.事象 P が起こる確率は
1-( (5) (6) (7) (8) )n
(3) (2)で定義した事象 P が起こるときは得点が 2 点,起こらないときは得点が (-1 ) 点であるとします.得点の期待値が正となるための必要十分条件は
n≧ (9) (10)
で与えられます.ただし,
log10⁡ 3=0.4771 ,log10 ⁡2= 0.3010
として計算してください.
2004-13338-0302
【2】 ▵ABC において
AB=2 ,BC=4 ,CA =3
とします.ベクトル b→ , c→ を
b→ =AB→ , c→ =AC→
によって定めます.
(1) ベクトル b→ と c→ の内積は
b→ ⋅c →= (11) (12) (13) (14)
(2) 以下 ▵ABC の内心を D とします.内心 D が ∠A の 2 等分線上にあることから,ベクトル AD → は
1 2⁢ b→ +1 (15) ⁢ c →
の実数倍になります.このことを用いると
AD→ = (16) (17) (18) (19) ⁢ b→+ (20) (21) (22) (23) ⁢ c→
であることがわかります.
(3) 内心 D から辺 AB に下ろした垂線の足を H とします.このとき
AH→ = (24) (25) (26) (27) ⁢ b→
(4) ▵ABC の内接円の半径は
(28) (29) (30)
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【3】 漸化式
xn+ 1=4 ⁢xn ⁢(1- xn )( n= 0, 1, 2, 3, ⋯)
と初項 x0 で定まる数列
x0 ,x1 , x2 ,x3 , ⋯
について考えます.ただし,初項 x0 は
0<x0 ≦1
を満たすとします.
(1) 条件
xn= x0 (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
が成立するとき,初項 x0 は
x0= (31) (32) (33) (34)
(2) 条件
x2⁢ n=x 0 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )かつ x2⁢ n-1 ≠x0 ( n= 1, 2, 3, ⋯)
x0= (35) (36) ± (37) (38) (39)
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【4】(1) (a+ 1)5 の展開式を求めてください.
(2) (1)を用いて, 65- 1 は 52 の倍数であることを示してください.
(3) 任意の自然数 n に対して,
「 6 5n- 1 は 5 n+1 の倍数である」
が成立することを数学的帰納法を用いて証明してください.
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【5】 2 次関数
f⁡(x )=x2 +a⁢ x+b
は
∫01 ⁡f⁡ (x)⁢ dx=0
(1) 2 次方程式 f⁡ (x)= 0 が異なる 2 実根を持つことを示してください.
(2) 2 次方程式 f⁡ (x)= 0 の 2 根を α ,β とします. |α- β| のとり得る値の範囲を求めてください.
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【6】(1) 実数全体を定義域とする関数 F⁡ (x) と G⁡ (x) をそれぞれ
F⁡(x )=4- |x- 2| ,G⁡( x)= |x| -|x +4|
によって定義します.グラフ y= F⁡(x ) と y= G⁡(x ) を同じ座標平面に図示してください.
(2) (1)で与えた 2 つの関数を用いて座標平面の部分集合
を定めます.そして D1 と D2 を用いて
D=D1 ∩D2
と定めます. D の点 (x, y) に対して,関数
f⁡(x ,y)= y2+ 4⁢x- 10⁢y
を考えます.点 P( x,0) が D を動くとき, f⁡(x ,0) の最小値を求めてください.
(3) 点 P( x,y) が D を動くとき, f⁡(x ,y) の最小値を求めてください.