2004　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(1)　$a\text{，}b$は実数とする．複素数$z=1+i$が$3$次方程式$z^3+az+b=0$の解であるとき，$a\text{，}b$は$a=-\boxed{\text{(1)}}\text{，}b=\boxed{\text{(2)}}$であり，他の$2$つの解は$z=\boxed{\text{(3)}}-\boxed{\text{(4)}}i\text{，}z=-\boxed{\text{(5)}}$である．ただし，$i^2=-1$とする．

【１】

(2)　${(1.8)}^n$が$3$桁以上の数となる最小の自然数$n$は$n=\boxed{\text{(6)}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】

(3)　等差数列$\{a_n\}$は次の式

$a_1+a_n=14n-616\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．このとき初項は$-\boxed{\text{(7)}\text{(8)}\text{(9)}}\text{，}$公差は$\boxed{\text{(10)}\text{(11)}}$で，一般項$a_n$は$a_n=\boxed{\text{(12)}\text{(13)}}n-\boxed{\text{(14)}\text{(15)}\text{(16)}}$となる．また和

${\displaystyle \sum _{k=1}^{44}}|a_k|=|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_{44}|$

は$\boxed{\text{(17)}\text{(18)}\text{(19)}\text{(20)}}$である．

【１】

(4)　先生$2$人と生徒$6$人がいる．円卓に向かって$5$人が話し合いをもつことになった．ただし，先生$2$人は必ず円卓に着席しているものとし，話し合いに参加する$3$人の生徒はあらかじめ決められていないものとする．$5$人が円卓に向かって座るときの座り方は全部で$\boxed{\text{(21)}\text{(22)}\text{(23)}}$通りである．このうち先生$2$人が隣り合う座り方は全部で$\boxed{\text{(24)}\text{(25)}\text{(26)}}$通りである．

【２】　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$について考える．ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$とし，ベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を${\theta }^{\prime }\text{（}0°\leqq {\theta }^{\prime }\leqq 90°\text{）}$としたとき，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$と$\cos 2{\theta }^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つものとする．ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{45\sqrt{13}}{13}}$で，ベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の大きさの積$\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|$が$\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|=35$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の大きさの積$\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|$は，$\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|=\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}$である．

(2)　原点$\mathrm{O}$をとって，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．平行四辺形$\mathrm{OADB}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}}{13}}\sqrt{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}}$

である．

(3)　$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}}{\boxed{\text{(35)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(36)}}}$である．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を${\theta }^{″}\text{（}0°\leqq {\theta }^{″}\leqq 180°\text{）}$とする．次の$2$つの条件

• (ⅰ)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$はすべて整数で，$\left|\overrightarrow{a}\right|<\left|\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{c}\right|$
• (ⅱ)　${\theta }^{″}>\theta \text{，}{\theta }^{″}>{\theta }^{\prime }$

が成り立つとき

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}\sqrt{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}(3\sqrt{\boxed{\text{(41)}}}-2)}{\boxed{\text{(42)}\text{(43)}}}}$

である．

【３】　関数$f(x)=|x(x-2)|\text{，}g(x)=x+a$について考える．

(1)　下の表は，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点の個数と，$a$の値の関係を表したものである．表を完成させよ．

(2)　$a=4$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}\text{(56)}\text{(57)}}}{6}}$

である．

【４】　$a\text{，}b$は正の整数とする．$\sqrt{3}$は${\displaystyle \frac{a}{b}}$と${\displaystyle \frac{a+3b}{a+b}}$の間にあることを証明せよ（証明は解答用紙$\mathrm{B}$の所定の欄に記入すること）．