2004　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　イニシャルが$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{T}$の$3$人が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の椅子に座っている．かれらはつぎのように主張している．

• $\mathrm{A}$に座っている人の主張　「$\mathrm{B}$に座っている人は$\mathrm{N}$です」
• $\mathrm{B}$に座っている人の主張　「$\mathrm{C}$に座っている人は$\mathrm{N}$です」
• $\mathrm{C}$に座っている人の主張　「$\mathrm{A}$に座っている人は$\mathrm{M}$です」

　少なくとも$\mathrm{N}$は真実を述べている．すると$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に座っている人の名前はそれぞれ$\boxed{\text{(1)}}$である．

[選択肢]

• 1.　$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{T}$
• 2.　$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{M}$
• 3.　$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{T}$
• 4.　$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{N}$
• 5.　$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{M}$
• 6.　$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$

【１】

(2)　$1\text{，}2\text{，}3$番の$3$人が面接を受けている．このうちいつも真実を述べるのは$1$人だけで，他の$2$人は嘘つき（いつも嘘をつく）である．

$1$番の発言　「$2$番の人は嘘つきです」

　この発言から，$\boxed{\text{(2)}}$番の人が嘘つきであることが確実にいえる．

【１】

(3)　$m\text{，}n$を負でない整数とするとき，座標平面上の点$(m,n)$を格子点という．格子点全体から，負でない整数全体への関数をつぎによって定義する．

$f(m,n)=m+{\displaystyle \frac{1}{2}}(m+n)(m+n+1)$

このとき，$f(m,n)=13$ならば，$m=\boxed{\text{(3)}}\text{，}n=\boxed{\text{(4)}}$であり，$f(m,n)=73$ならば，$m=\boxed{\text{(5)}}\text{，}n=\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】

(1)　$a>1\text{，}b>1$をみたす任意の実数$a\text{，}b$に対して

${\log }_{a}b+{\log }_b{a}^9\geqq M$

をみたす定数$M$の最大値は$\boxed{\text{(7)}}$である．

【２】

(2)　$f(x)$をつぎの条件をみたす$3$次関数とする．

• (a)　$(1,f(1))$における接線は傾き$1$で，$y$切片$0$である．
• (b)　$(-1,f(-1))$における接線は傾き$1$で，$y$切片$4$である．

　このとき

$f(x)=\boxed{\text{(8)}}{x}^3+\boxed{\text{(9)}}{x}^2-\boxed{\text{(10)}}x+\boxed{\text{(11)}}$

である．

【３-1】　トーナメント方式で優勝者を決定する個人参加の競技を考える．試合は優勝者が決まるまで毎日行われる．各試合は$2$選手によって行われ，勝者のみが翌日に行われる試合に臨む．初日に全選手に対して試合の組合せがあり，以降，勝った選手全員のみが翌日の試合に臨む．ただし，組合せができないときには不戦勝として選手はつぎの試合に臨む．不戦勝は各日多くとも$1$選手とする．選手数が$n$人のとき，決勝までに生じた不戦勝数を$f(n)$とする．たとえば，$n=7$のとき，選手数の推移は

$7\to 4\to 2\to 1$

で，$f(7)=1$となる．同様にすれば，$f(107)=\boxed{\text{(13)}}$を得る．$f(N)=7$であり，$N$より小さな$n$に対して$f(n)\leqq 6$ならば，$N=\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}\boxed{\text{(16)}}$である．この$N$に対して，$M>N$で$f(M)=7$となる$M$の最小値は$\boxed{\text{(17)}}\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}$である．

【３-2】　$M$次式$P$と$N$次式$Q$（$M\leqq 5\text{，}N\leqq 5$とする）について，$P$を$Q$で割り，商$R$と余り$S$を計算する．整式は$x_0=1\text{，}{x}_1=x\text{，}{x}^2\text{，}{x}^3\text{，}{x}^4\text{，}{x}^5$の係数の配列として考えられる．ただし，定数項は$x^0$の係数と考える．下に記述したものは，商と余りを計算するプログラムから一部分を抜き出したものである．行番号$500$の FOR ループ実行前に

$P={\displaystyle \sum _{\mathrm{I}=0}^5}A(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}$

$Q={\displaystyle \sum _{\mathrm{I}=0}^5}\mathrm{B}(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}$

が成り立ち，$M\text{，}N$が正しく定義されている．そして，行番号$580$の FOR ループ実行後には

• $R={\displaystyle \sum _{\mathrm{I}=0}^5}C(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}$
• $S={\displaystyle \sum _{\mathrm{I}=0}^5}A(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}$

が成り立つ．選択肢の番号を記入しなさい．

• 100 DIM A(5),B(5),C(5)
• （中略）
• 500 FOR I=5 TO 0 STEP -1
• 510 IF I > M- $\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}$
• 520 C(I) = $\boxed{\text{(24)}}\boxed{\text{(25)}}$ / $\boxed{\text{(26)}}\boxed{\text{(27)}}$
• 530 FOR J=N TO 0 STEP -1
• 540 A(I+J) = A(I+J) - $\boxed{\text{(28)}}\boxed{\text{(29)}}$
• 550 NEXT J
• 560 GOTO $\boxed{\text{(30)}}\boxed{\text{(31)}}$
• 570 C(I) = $\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}$
• 580 NEXT I

　行番号$500\text{〜}580$の FOR ループでは，$\mathrm{C}(\mathrm{I})$を次数の高い方から順に計算する．R の次数 M- $\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}$によって処理を分ける．$\mathrm{C}(\mathrm{I})$は${\displaystyle \sum _{\mathrm{K}=0}^5}\mathrm{A}(\mathrm{K})x^{\mathrm{K}}$から$\mathrm{C}(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}\cdot \mathrm{Q}$を引き，次数が下がるように$\mathrm{C}(\mathrm{I})$を決める．I が$\mathrm{M}-\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}$より小さいか等しい場合，$\mathrm{C}(\mathrm{I})x^{\mathrm{I}}\cdot \boxed{\text{(26)}}\boxed{\text{(27)}}{x}^{\mathrm{N}}$を$\boxed{\text{(24)}}\boxed{\text{(25)}}{x}^{\mathrm{N}+1}$に等しくなるように決める．行番号$530\text{〜}550$では

${\displaystyle \sum _{\mathrm{K}=0}^5}\mathrm{A}(\mathrm{K})x^{\mathrm{K}}-\mathrm{C}(I)x^{\mathrm{I}}\cdot {\displaystyle \sum _{\mathrm{J}=0}^{\mathrm{N}}}\mathrm{B}(\mathrm{J})x^{\mathrm{J}}$

の計算を行う．たとえば，$\mathrm{A}=2x^2-x+3\text{，}\mathrm{B}=x+1$の場合には

• $\{2x^2-x+3\}-\{2x(x+1)\}=-3x+3$
• $\{-3x+3\}-\{-3(x+1)\}=6$

となる．

[選択肢]

• (01)　500
• (02)　510
• (03)　520
• (04)　550
• (05)　560
• (06)　570
• (07)　580
• (08)　0
• (09)　M
• (10)　N
• (11)　A(I)
• (12)　A(N)
• (13)　A(N+1)
• (14)　B(I)
• (15)　B(N)
• (16)　B(N+J)
• (17)　C(I)+B(J)
• (18)　C(I)*B(J)
• (19)　B(I+J)
• (20)　C(I+J)

【４】　平面上の地点$\mathrm{O}$から地点$\mathrm{A}$に，つぎのような条件で，最短時間の移動法を考えよう．平面上では時速$60(km/h)$で移動する．ただし$\mathrm{OA}$を結ぶ線に平行に$1(km)$離れて道路$L$があり，その道路上では時速$75(km/h)$で移動する．$\mathrm{O}$から直線で$L$上の地点$\mathrm{P}$まで$t_1$時間移動し，道路上を$\mathrm{Q}$まで$t_2$時間移動し，そこから$t_3$時間かけて直線で$\mathrm{A}$まで達するという行程で，最も早く到着するものを考えよう．すなわち，$t_1+t_2+t_3$が最小になるような道である．このとき，$2$辺$\mathrm{OP}$と$\mathrm{QA}$の長さは等しく，$t_1=t_3$となることがわかっている．$L$上の地点で$\mathrm{O}$からもっとも近いところを$\mathrm{H}$とし，$\angle \mathrm{HOP}$を$\alpha$とする．すると，つぎを得る．

$\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}{t}_1\cos \alpha =1\text{，}\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}{t}_1\sin \alpha +\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}{t}_2=a$

ここで$a=\mathrm{OA}$とした．$\alpha$を$0°$から$90°$まで変化させるとき，

$k=t_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}_2-{\displaystyle \frac{a}{150}}$

の最小値は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}}}$である．よって，$2t_1+t_2$の最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}}a+\frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}\boxed{\text{(49)}}}}$

である．したがって道路$L$を使うほうが早いのは$a>\boxed{\text{(50)}}$のときであり，そのときに限る．

【５】　箱が$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$と番号付けられた$n$個の部屋に分割されている．$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$と番号付けられた$n$個の球をこれらの部屋に一つずつランダムにすべて入れる．すなわち，各番号$k$の部屋にはいった球の番号を$a_k$とすれば，順列$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$を得るが，ひとつの順列が出現する確率がすべて同じ${\displaystyle \frac{1}{n!}}$であるとする．もし，どの$k$に対しても$a_k\ne k$であるならば，この順列は乱列といわれる．乱列が出現する確率$p(n)$を考察しよう．解答欄$\boxed{\text{(51)}}$から$\boxed{\text{(68)}}$には，つぎの選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄に答えなさい．

　このために$n>2$として，乱列の個数$f(n)=n!p(n)$に関する漸化式をもとめる．乱列$(a_1,a_1,\cdots ,a_n)$において，$a_n=j\text{，}{a}_j=n$の場合と，$a_n=j\text{，}{a}_j\ne n$の場合に分ける．前者の場合，考えている乱列は$(1,\cdots ,j-1,j+1,\cdots ,n-1)$の乱列とみなされる．後者の場合，$a_j=i$とするとき，$b_k=a_k\text{（}k\ne j\text{，}n\text{），}{b}_n=i$とおけば，$(1,\cdots ,j-1,j+1,\cdots ,n)$の乱列を得る．よって，

$f(n)=\boxed{\text{(51)}}\boxed{\text{(52)}}f(n-1)+\boxed{\text{(53)}}\boxed{\text{(54)}}f(\boxed{\text{(55)}}\boxed{\text{(56)}})$

を得る．これより，

$p(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(57)}}\boxed{\text{(58)}}}{\boxed{\text{(59)}}\boxed{\text{(60)}}}}p(n-1)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(61)}}\boxed{\text{(62)}}}{\boxed{\text{(63)}}\boxed{\text{(64)}}}}p(\boxed{\text{(65)}}\boxed{\text{(66)}})$

　任意の$n>1$に対して$p(n)\geqq {\displaystyle \frac{1}{N}}$が成立するような自然数$N$で最小なものは$\boxed{\text{(67)}}\boxed{\text{(68)}}$である．

[選択肢]

• (01)　$0$
• (02)　$1$
• (03)　$2$
• (04)　$3$
• (05)　$4$
• (06)　$5$
• (07)　$6$
• (08)　 $7$
• (09)　$8$
• (10)　$9$
• (11)　$n-2$
• (12)　$n-1$
• (13)　$n$
• (14)　 $n+1$
• (15)　$n+2$