2004　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　$xy$平面上で，$\theta$を媒介変数として

$\{\begin{array}{l}x=5\cos \theta +\cos 5\theta \\ y=5\sin \theta +\sin 5\theta \end{array}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で表される曲線を$C$とする．点$(x,y)$が曲線$C$上にあるとき，$x+y$は，$\theta =\boxed{\text{(あ)}}$に対応する点で最大値$\boxed{\text{(い)}}$をとり，$\theta =\boxed{\text{(う)}}$に対応する点で最小値$\boxed{\text{(え)}}$をとる．また，曲線$C$の長さは$\boxed{\text{(お)}}$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(2)　$f(x)$を$x$の多項式とする．ある定数$b$が存在して，すべての自然数$n$に対して等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)=2f(n)+n^3+b$

が成り立つとする．このとき，$b$と$f(x)$を求めよう．$f(x)$の各項のうち，次数の最も高い項を$a{x}^r\text{（}a\ne 0\text{，}r\geqq 0\text{）}$とし，$f(x)=a{x}^r+g(x)$とおくと，$a=\boxed{\text{(か)}}\text{，}r=\boxed{\text{(き)}}$である．さらに，$g(x)=\boxed{\text{(く)}}$であり，$b=\boxed{\text{(け)}}$でなければならない．

　また，ある定数$c$と$x$の多項式$h(x)$が存在して，すべての実数$x$に対して

${\displaystyle {\int }_0^x}h(t)dt=h(x)+{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+c$

が成り立つとする．このとき$c=\boxed{\text{(こ)}}\text{，}h(x)=\boxed{\text{(さ)}}$である．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　空の袋が$2$つと，赤球，白球，黒球がそれぞれたくさん用意されている．

(1)　片方の袋に赤球$1$個と黒球$1$個を，他方の袋に赤球$1$個と白球$1$個を入れる．この状態から始め，それぞれの袋に球が入っている限り次の操作$\mathrm{T}$を繰り返す．

$\text{操作}\mathrm{T}$それぞれの袋から同時に球を$1$個ずつ取り出し，次の(a)〜(c)のいずれかの処理を行う．

• (a)　取り出された$2$個の球が同じ色である場合は，それらを袋に戻さない．
• (b)　取り出された$2$個の球のうち$1$個だけが黒球である場合は，取り出された黒球以外の球を袋の外に用意されている黒球と取り替えて，それぞれの袋に黒球を$1$個ずつ戻す．
• (c)　(a)，(b)以外の場合は，取り出された$2$個の球をそれぞれが入っていた袋に戻す．

　以下，各回の操作を終えたときの状態のみに着目し，操作途中の状態を考えないものとする．また，$n$を自然数とする．

(ⅰ)　片方の袋に入っているのは赤球$1$個だけであり，かつ，他方の袋に入っているのは白球だけであるという状態を状態$\mathrm{A}$とする．$n$回目の操作を終えたとき初めて状態$\mathrm{A}$がおこる確率を$p_n$とすると，$p_n=\boxed{\text{(あ)}}$である．

(ⅱ)　どちらの袋も空であるという状態を状態$\mathrm{B}$とする．$n$回目の操作を終えたとき初めて状態$\mathrm{B}$がおこる確率を$q_n$とすると，$q_1=q_2=0\text{，}{q}_3=\boxed{\text{(い)}}\text{，}{q}_4=\boxed{\text{(う)}}$であり，一般に$n\geqq 5$に対して$q_n=\boxed{\text{(え)}}$である．

(2)　一度どちらの袋も空にした後で，片方の袋に赤球$1$個と黒球$2$個を，他方の袋に赤球，白球，黒球をそれぞれ$1$個ずつ入れる．この状態から始め，それぞれの袋に球が入っている限り上の操作$\mathrm{T}$を繰り返す．この場合に$n$回目の操作を終えたとき初めて状態$\mathrm{A}$がおこる確率を$r_n$とすると，$r_n=\boxed{\text{(お)}}$である．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　空間内の$2$点$\mathrm{P}(1,0,1)\text{，}\mathrm{Q}(0,1,-1)$を通る直線$l$を$z$軸のまわりに$1$回転して得られる曲面を$S$とする．

(1)　直線$l$上の点$(x,y,z)$は，$x=\boxed{\text{(あ)}}\times z+\boxed{\text{(い)}}\text{，}y=\boxed{\text{(う)}}\times z+\boxed{\text{(え)}}$を満たす．

(2)　$S$および$2$つの平面$z=1\text{，}z=-1$により囲まれた部分の体積は$\boxed{\text{(お)}}$である．

(3)　$k$を正の数とする．点$(1,0,k)$を通り$y$軸を含む平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と曲面$S$が交わってできる曲線を$C$とする．そして，$C$上の各点を通り$z$軸に平行な直線と$xy$平面との交点のえがく図形を$C_0$とする．$k=1$のとき$C_0$の方程式は$\boxed{\text{(か)}}$である．また$k=\boxed{\text{(き)}}$のとき$C_0$は平行な$2$つの直線である．

【４】　設問(1)から(4)に答えなさい．

　$n$を$2$以上の自然数とし，$2n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}$がこの順に同一円周上の異なる位置にあるとする．これらの点のうちの$2$点を両端とする線分が$m$本あり，さらに$m\geqq 3$のとき，次の条件(A)が満たされていると仮定する．

(A)　これらの線分のうちのどの$3$本も（点${\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}$のうちの任意の$3$点を頂点とするような）三角形を形づくることはない．

異なる$2$点${\mathrm{P}}_i$と${\mathrm{P}}_j$を結ぶ線分があるとき$x_{ij}=x_{ji}=1\text{，}$そうでないとき$x_{ij}=x_{ji}=0$とし，

$a_i={\displaystyle \sum _{j=1}^{2n}}{x}_{ij}\text{，}{b}_{ij}={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{x}_{ik}{x}_{jk}$（ただし$x_{ii}=0$とする）

とおくと，${\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}}{a}_i=\boxed{\text{(あ)}}\times m$となる．条件(A)より，任意の$i\text{，}j$（$i=j$の場合も含む）に対して

$b_{ij}\leqq (1-x_{ij})a_i\cdots \text{①}$

が成り立つ．さらに，任意の実数$t$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(t{a}_k+1)}^2\geqq 0$が成り立つことと

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}}{b}_{ij}={\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}}({\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{x}_{ik}{x}_{jk})={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}({\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}}{x}_{ik})({\displaystyle \sum _{j=1}^{2n}}{x}_{jk})={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a_k}^2\cdots \text{②}$

を用いると

$m\leqq n^2\cdots \text{③}$

が示される．ただし，一般に$N^2$個の数$c_{ij}\text{（}1\leqq i\leqq N\text{，}1\leqq j\leqq N\text{）}$に対して

${\displaystyle \sum _{i=1}^N}({\displaystyle \sum _{j=1}^N}{c}_{ij})={\displaystyle \sum _{j=1}^N}({\displaystyle \sum _{i=1}^N}{c}_{ij})$

であるので，括弧を省略して，この和を${\displaystyle \sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N}{c}_{ij}$と書く．いま，$\text{③}$の等号が成り立っている場合を考える．点${\mathrm{P}}_{2n}$と線分で結ばれているのは点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_r$のみであるとすると，$r=\boxed{\text{(い)}}$でなければならない．このとき，点${\mathrm{P}}_{2n-1}$と線分で結ばれているのは点$\boxed{\text{(う)}}$のみである．

(1)　$\boxed{\text{(あ)}}$に適切な数を入れなさい．

(2)　$\text{①}$を証明しなさい．

(3)　$\text{③}$を証明しなさい．（$\text{②}$は証明なしで用いてよい．）

(4)　$\boxed{\text{(い)}}$に適切な数または式を，$\boxed{\text{(う)}}$に適切な点の列を入れなさい．