2004　上智大学　文(心理)学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　$10$人を$2$人ずつ$5$つの組に分ける場合の数は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(2)　$f(x)=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+24$が

$f(1)=24\text{，}f(2)=f(3)=f(4)=48$

をみたすとき

$a_1=\boxed{\text{イ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{エ}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{オ}}$

である．

【１】

(3)　$100!$を素数の積に分解すると

$2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^{16}\cdot {11}^9\cdot {13}^7\cdots$

となる．ただし，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$3$辺の長さが$2\text{，}\sqrt{10}\text{，}\sqrt{10}$である二等辺三角形の周および内部を$A$とする．

(1)　半径$a$の円板$D$で$A$に含まれるものが存在するための条件は

$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

　(1)の条件のもとで円板$D$が$A$内を動くとき，$D$の通り得る範囲を$S$とし，$D$が三角形の少なくとも$1$辺に接しながら$A$内を動くとき，$D$が通り得る範囲を$T$とする．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$T$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\pi }$

である．

(3)　$S$と$T$が一致するような$a$の最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(1,\sqrt{3})$について，直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OB}$をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$とする．$i\text{，}j\text{，}k$は$1\text{，}2\text{，}3$を並べかえたものとし，平面上の点$\mathrm{P}$を直線$l_i$に関して対称に移した点を${\mathrm{P}}_i\text{，}$点${\mathrm{P}}_i$を直線$l_j$に関して対称に移した点を${\mathrm{P}}_{ij}\text{，}$点${\mathrm{P}}_{ij}$を直線$l_k$に関して対称に移した点を${\mathrm{P}}_{ijk}$とする．たとえば，$\mathrm{A}$は$(2,0)$だから，${\mathrm{A}}_1=(2,0)\text{，}{\mathrm{A}}_{12}=(2,0)\text{，}{\mathrm{A}}_{123}=(-1,\sqrt{3})$である．

(1)　点${\mathrm{O}}_{123}$は

$(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}})$

点${\mathrm{B}}_{123}$は

$(\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}})$

である．

(2)　点$\mathrm{Q}$が三角形$\mathrm{OAB}$の周および内部を動くとき，点${\mathrm{Q}}_{123}$と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値は$\boxed{\text{ヒ}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{フ}}$である．

(3)　点$\mathrm{R}$が三角形$\mathrm{OAB}$の周および内部を動くとき，点${\mathrm{R}}_{ijk}$と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値を$m_{ijk}$とする．$1\text{，}2\text{，}3$のすべての並べかえ$i\text{，}j\text{，}k$のうち$m_{ijk}$が最小になるのは

${\mathrm{R}}_{ijk}=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}{\boxed{\text{ミ}}}})$

または

${\mathrm{R}}_{ijk}=(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}}\sqrt{\boxed{\text{モ}}})$

のときである．このとき，$m_{ijk}$の値は$\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$である．