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2004-13363-0501
2004 上智大学 法(法律)学部
2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a≠0 とする.直線
la: y= 4⁢a 2-1 4⁢a ⁢( x-a)+ a2
を考える.
(1) a≠0 であるすべての a について, la は定点 ( ア , イ ウ ) を通る.
(2) 放物線 y= x2 と la との 2 つの交点の x 座標は エ⁢a および -1 オ⁢a である.この 2 つの交点を A , B とすると
AB= カ キ ⁢( ク⁢ a+ 1a ) 2
である.
a>0 とするとき, AB は a= ケ コ で最小値 サ をとる.
(3) 線分 AB の中点は放物線 y= シ⁢ x2 + ス セ 上にある.
2004-13363-0502
【2】(1) a を実数とし, 0°≦θ ≦90° の範囲で関数
f⁡(θ )=| cos⁡2⁢ θ+1- 2⁢a|
(ⅰ) a≦ ソ タ ならば, f⁡( θ) は θ= チ ° のとき最大値 ツ⁢ a+ テ をとる.
(ⅱ) ソ タ ≦a ならば, f⁡(θ ) は θ= ト ° のとき最大値 ナ⁢ a+ ニ をとる.
(2) b≧1 とし, 0°≦θ ≦90° の範囲で関数
g⁡(θ )=| cos⁡3⁢ θ+(3 -4⁢b )⁢cos⁡ θ|
(ⅰ) 1≦b≦ ヌ ならば, g⁡(θ ) は cos⁡ θ= ネ ノ ⁢ b12 のとき最大値 ハ ヒ⁢ フ⁢ b 32 をとる.
(ⅱ) ヌ ≦b ならば, g⁡(θ ) は θ= ヘ ° のとき最大値 ホ⁢ b+ マ をとる.
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【3】 図のように,頂点を長さ 1 の辺で結んだ道路を考える. P から出発し,同じ点を 2 度通らないようにして Q まで進む道順を経路と呼ぶことにする.
(1) 最短の経路の長さは ミ で,そのような経路は ム 通りある.
(2) 最短経路の次に短い長さをもつ経路の長さは メ である.そのような経路の中で図の辺 BA を点 B から点 A に向かって通過するものは モ 通りある.
(3) P から Q に向かう経路の中ですべての頂点を通る経路の長さは ヤ である.これらの経路は辺 CD を必ず通る.このように,これらの経路が必ず通る辺は辺 CD を含めて ユ 個ある.すべての頂点を通る P から Q への経路は ヨ 通りある.