2004　上智大学　経済(経済)学部2月11日実施MathJax

【１】(1)　$A\ne 0$とする．$F(X)=A{X}^3+B{X}^2+CX$が$X>0$で極大値と極小値をもつための必要十分条件は，$\boxed{\text{あ}}$かつ$\boxed{\text{い}}$である．$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}$は次のそれぞれの選択肢より選べ．

$\boxed{\text{あ}}$の選択肢

• $\text{①}$　$B^2>4AC$
• $\text{②}$　$B^2>3AC$
• $\text{③}$　$B^2>2AC$
• $\text{④}$　$B^2>AC$
• $\text{⑤}$　$B^2<4AC$
• $\text{⑥}$　$B^2<3AC$
• $\text{⑦}$　$B^2<2AC$
• $\text{⑧}$　$B^2<AC$

$\boxed{\text{い}}$の選択肢

• $\text{①}$　$AB>0$かつ$AC>0$
• $\text{②}$　$AB>0$または$AC>0$
• $\text{③}$　$AB>0$かつ$AC<0$
• $\text{④}$　$AB>0$または$AC<0$
• $\text{⑤}$　$AB<0$かつ$AC>0$
• $\text{⑥}$　$AB<0$または$AC>0$
• $\text{⑦}$　$AB<0$かつ$AC<0$
• $\text{⑧}$　$AB<0$または$AC<0$

(2)　$f(x)=5^{3x+a}-5^{2x+b}+5^{x+c}$が極大値と極小値をもつための必要十分条件は

$\boxed{\text{ア}}b>a+\boxed{\text{イ}}c+{\log }_5\boxed{\text{ウ}}$

である．このとき，$f(x)$が極大になるときの$x$を$\alpha \text{，}$極小になるときの$x$を$\beta$とおけば

$\alpha +\beta =\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}c-{\log }_5\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　$4$辺の長さがそれぞれ$6\text{，}5\text{，}4\text{，}3$で，少なくとも$1$つの内角が直角であるような四角形が何通りあるかを考える．

(1)　上のような四角形$\mathrm{ABCD}$の直角の頂点を$\mathrm{B}$とし，$\angle \mathrm{B}$をはさむ$2$辺を$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$と向き合う頂点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{B}$をはさむ$2$辺の長さが$5$と$4$の場合，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$で，$\cos D={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$であり三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．この場合，四角形は$\boxed{\text{シ}}$通りある．

(2)　求める四角形は全部で$\boxed{\text{ス}}$通りあり，そのうち$2$つの内角が直角なものは$\boxed{\text{セ}}$通りで，また凸であるものは$\boxed{\text{ソ}}$通りである．これら$\boxed{\text{ス}}$通りの四角形の中で最小の面積は$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　$1$つのサイコロを振って，出た目の合計を考える．

(1)　サイコロを$3$回振ったとき，出た目の合計が$5$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　サイコロを振る回数が$3$回までの間に，出た目の合計が$5$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　サイコロを振る回数が$n$回までの間に，出た目の合計がちょうど$n$になる確率を$P(n)$とする．

(a)　$1$回もサイコロを振らないことを，$0$回サイコロを振ったと考えて，$P(0)=1$とおく．

(b)　出た目の合計が$1$になるのは，サイコロを$1$回振って$1$が出る場合しかないから$P(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}$である．

(c)　出た目の合計が$2$になるのは，$1$回目で$2$が出る場合と$2$回続けて$1$が出る場合であるから，$P(2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(d)　"出た目の合計が$n$になったときのサイコロの目"に注目すれば，$P(n)$に関する次の漸化式が得られる．

$2\leqq n\leqq 6$のとき，$P(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}P(n-1)\text{，}$

$n\geqq 7$のとき，$P(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}P(n-1)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}P(n-7)$