2004　上智大学　理工（機械・化学）学部2月11日実施MathJax

【１】　$xy$平面に，原点を中心とし，半径が$1\text{，}r\text{（}0<r<1\text{）}$の同心円がある．この円周上を動いている$2$つの点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)\text{，}\mathrm{Q}(r\cos 2t,r\sin 2t)$を考える．ここで$t$は時間である．長さ$\overline{\mathrm{PQ}}$が最大値をとるのは$\cos t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のときである．以下，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線$l$が$y$軸と平行でないときのみを考える．このとき直線$l$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$とする$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{．}\tan \theta$を$t$で微分することにより，

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}{r}^2+\boxed{\text{オ}}r\boxed{\text{あ}}}{1+r^2-2r\cos t}}$

が得られるので，${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}=0$となるのは$\cos t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}r+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{\displaystyle \frac{1}{r}}$のときのみであることが分かる．したがって，${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}=0$となる$t$が存在するための必要十分条件は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\leqq r$である．

選択肢：

• (1)　$\cos t$
• (2)　$\sin t$
• (3)　$\cos 2t$
• (4)　$\sin 2t$
• (5)　$\tan t$
• (6)　$\tan 2t$

【２】　$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(\sqrt{3},0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{>C}(0,0,1)$を考える．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{>C}$を通る平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{n}$は

$\overrightarrow{n}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}(1,\boxed{\text{セ}},\sqrt{\boxed{\text{ソ}}})$

と表される．ただし，$\boxed{\text{シ}}>0$とする．

(2)　線分$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{P}(0,0,z)$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{>C}$を通る平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{PH}$の長さは

$\overline{\mathrm{PH}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}(\boxed{\text{ツ}}-z)$

と表される．

(3)　また，(2)で定めた点$\mathrm{P}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面に下ろした垂線の足を${\mathrm{H}}^{\prime }$とする．このとき，$S={\overline{\mathrm{PH}}}^2+{\overline{\mathrm{P}{\mathrm{H}}^{\prime }}}^2$とおくと，

$S={\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{テ}}{z}^2+\boxed{\text{ト}}z+\boxed{\text{ナ}})$

と表される．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$S$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【３】　複素数平面上の点$z=x+yi$に対し

$f(z)=\{\begin{array}{ll}|{\displaystyle \frac{z}{|z|}}+|z||& \text{（}z\ne 0\text{）}\\ 1& \text{（}z=0\text{）}\end{array}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)　$f(z)<3$である$z$の範囲は中心$\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}i\text{，}$半径$\boxed{\text{ハ}}$の円の内部である．

(2)　$|z|<f(z)$である$z$の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}<x$である．

(3)　$3|z|<f(z)$である$z$の範囲は中心${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヘ}}}}+\boxed{\text{ホ}}i\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$の円の内部である．

【４】　次のように定積分で表された関数

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{\displaystyle {\int }_0^4}|t(t-2x)|dt$

を考える．

(1)　$F(x)$は

$\begin{array}{ll}x\leqq \boxed{\text{ム}}\text{のとき}& \boxed{\text{モ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\text{，}\\ \boxed{\text{ム}}\leqq x\leqq \boxed{\text{メ}}\text{のとき }& {\displaystyle \frac{1}{6}}(\boxed{\text{ヨ}}{x}^3+\boxed{\text{ラ}}x+\boxed{\text{リ}})\text{，}\\ \boxed{\text{メ}}\leqq x\text{のとき}& \boxed{\text{ル}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}\end{array}$

となる．

(2)　$0\leqq x\leqq 3$における$F(x)$は$x=\boxed{\text{ワ}}$のとき最大値をとり，$x=\sqrt{\boxed{\text{ヲ}}}$のとき最小値をとる．