2004　上智大学　理工(数・物・電)学部2月12日実施MathJax

【１】

(1)　次の漸化式を満たす数列$\left\{a_n\right\}$を考える．

$a_n=a_{n+2}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$であるとする．このとき，次の式が成り立つ．

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^n\text{，}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

【１】

(2)　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$を出発し，曲線$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$上を毎秒$1$の速さで動いているとする．原点を出発してから$t$秒後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x(t),y(t))$とすると，次の関係式

$\sqrt{x(t)+\boxed{\text{キ}}}{\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}}=\boxed{\text{ク}}$

が成り立つ．点$\mathrm{P}$の$x$座標が$3$になるのは，原点を出発してから$t_0$秒後であるとする．${\displaystyle \frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}}$の時刻$t=t_0$での値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，${\displaystyle \frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}}$の時刻$t=t_0$での値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．よって，時刻$t=t_0$のときの点$\mathrm{P}$の加速度の大きさは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$点$\mathrm{P}(1,0,1)\text{，}$点$\mathrm{Q}(2,1,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OPQ}$を考える．$0\leqq t\leqq 1$のとき，点$(0,t,0)$を通り$xz$平面に平行な平面$H$と辺$\mathrm{PQ}$が交わる点の座標は$(\boxed{\text{ソ}}+t,t,\boxed{\text{タ}}+\boxed{\text{チ}}t)$であり，平面$H$と辺$\mathrm{OQ}$が交わる点の座標は$(\boxed{\text{ツ}}t,t,0)$である．三角形$\mathrm{OPQ}$を$y$軸のまわりに回転したときの回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\pi$である．この回転体上の点で，$z$軸上の点$(0,0,{\displaystyle \frac{5}{2}})$に最も近い点の座標は$(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}})$である．

【３】　各チームに攻撃度$n$（ただし$n=1\text{，}2\text{，}3$）が決まっている競技を考える．攻撃度$a$のチーム$\mathrm{A}$と攻撃度$b$のチーム$\mathrm{B}$が試合をしたとき，

・$\mathrm{A}$は$a$回攻撃し，$\mathrm{B}$は$b$回攻撃するとし，

・$\mathrm{A}$のそれぞれの攻撃が成功する確率は${\displaystyle \frac{b}{3}}$であり，

・$\mathrm{B}$のそれぞれの攻撃が成功する確率は${\displaystyle \frac{a}{3}}$である

とする．攻撃の成功回数を得点とし，得点の多いチームが勝ち，同点の場合は引き分けとする．

(1)　攻撃度が$3$のチームと$2$のチームが対戦したとき，引き分けになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(2)　攻撃度が$3$のチームと$2$のチームが対戦したとき，攻撃度$3$のチームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

(3)　攻撃度が$3\text{，}2\text{，}1$の$3$チームで総当たり戦を行うとき，攻撃度$3$のチームが$2$勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{{\boxed{\text{ホ}}}^2}}$であり，攻撃度$2$のチームが$2$勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{{\boxed{\text{ミ}}}^2}}$である．また，$2$勝する確率が最も高いのは，攻撃度$\boxed{\text{ム}}$のチームであり，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{{\boxed{\text{モ}}}^2}}$である．

【４】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする，半径が$1$および$2$の球面をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とする．点$\mathrm{P}$が$S_1$の上を，点$\mathrm{Q}$が$S_2$の上を$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{2}$という条件を保って動くとする．このとき以下の問に答えよ．

(1)　与えられた点$\mathrm{P}=(x,y,z)$に対して，上の条件を満たす点$\mathrm{Q}$の全体は半径$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$の円$C$をなす．この円$C$とその内部を底面とし点$\mathrm{P}$を頂点とする円錐の側面（底面は入れない）の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}}{\boxed{\text{ラ}}}}\pi$である．

(2)　円$C$の中心を$\mathrm{R}$とし，${\displaystyle \frac{1}{r}}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=(u,v,w)$とする．$\mathrm{P}=(0,0,1)$のとき，$w=\boxed{\text{リ}}$である．また点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$に対して関数$f(\mathrm{P},\mathrm{Q})$を

$f(\mathrm{P},\mathrm{Q})=z+v+(zv-yw)$

と定義する．$\mathrm{P}=(0,0,1)$の条件の下では$f(\mathrm{P},\mathrm{Q})$の最大値は$\boxed{\text{ル}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{レ}}$である．

(3)　関数$f(\mathrm{P},\mathrm{Q})$の最大値を求めたい．まず不等式

$|zv-yw|\leqq \boxed{\text{ロ}}$

が成り立つことに注意する．ただし，上の$\boxed{\text{ロ}}$には，不等式を成り立たせる最小の整数を入れる．次に，この不等式と(2)における考察を考慮すると，求める$f(\mathrm{P},\mathrm{Q})$の最大値は$\boxed{\text{ワ}}$であることが分かる．

【１】　$z_1=\cos \theta +i\sin \theta \text{，}{z}_2=\cos \varphi +i\sin \varphi$のとき，複素数$z$を

$z=2z_1+{\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位を表す．また，角$\theta \text{，}\varphi$はラジアンで表すものとする．

(1)　$z$の絶対値$|z|$を$\theta \text{，}\varphi$を使って表せ．

(2)　$\theta \text{，}\varphi$がそれぞれ$0\leqq \theta \leqq \pi \text{，}0\leqq \varphi \leqq \pi$の範囲を動くとき，$z$が動く領域を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$ir$（$r$は実数）が(2)の領域内にあるとき，$z=ir$を満たす$\cos \theta \text{，}\cos \varphi$の値を$r$を使って表せ．

(4)　同様に，$r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$（ただし$r>0$）が(2)の領域内にあるとき，$z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$を満たす$\cos \alpha$の値を$r$と$\alpha$を使って表せ．