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2004-13363-0901
2004 上智大学 理工学部
数学科
2月12日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) a は実数とし, xy 平面の直線 y= a⁢x と点 P( x0, y0 ) の距離を l⁡ (x 0,y 0) とすると
l⁡( x0, y0) = | a⁢x0 -y0 | 1+ a2
であることを証明せよ.
(2) 以下 x> 0, y>0 の範囲で次の不等式を考える.
0< |a⁢ x-y| 1+a 2< 2⁢ 2x +y (*)
(ⅰ) a=1 のとき(*)で定義される xy 平面上の領域を図示せよ.
(ⅱ) a が有理数のとき(*)をみたす整数の組 (x, y) は有限個であることを示せ.
2004-13363-0902
【2】 自然数 n に対して n- 1 個の複素数
zk= cos⁡ 2⁢k⁢ πn +i⁢sin ⁡ 2⁢k ⁢πn ( k= 1, 2, ⋯, n-1 )
を考える.ただし i は虚数単位を表し π は円周率である.このとき,
{zr ,zr +1, ⋯,z s}
という型の集合を鎖と呼ぶ.ここで 1≦ r≦s≦ n-1 である.また,鎖に含まれる全ての複素数の和を,鎖の重さとよぶ.
(1) 1≦l< m≦n- 1 のとき, zl と zm を共に含む鎖の個数を求めよ.
(2) l を固定し zl を含む鎖の重さの総和を S とする.
(ⅰ) n が偶数で n= 2⁢l のとき, S は実数であることを示せ.
(ⅱ) 2⁢l< n のとき, S の虚部は,正であることを示せ.
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【3】 数列 an を
a1= 12 , 2⁢an =a1 ⁢an -1+ a2⁢ an- 2+⋯ an-1 ⁢a 1( n≧2 )
で定義する.
(1)
ak= 1 2⁢k ⁢( 1-a1 -a2 -⋯- ak- 1) (k ≧2 )(*)
であることを以下の順により,帰納法で示せ.
(ⅰ) k=2 のとき(*)は成り立つ.
(ⅱ) n≧2 とし,
A= +a1 ⁢(a 1+a 2+⋯ +an -2+ an- 1) + a2⁢ (a1 +a2 +⋯+ an-2 ) ⋮ +a n-2 ⁢(a 1+a2 ) +a n-1 ⁢a1
とおく.
(a) an の定義式を用いて
A=2⁢ (a1 +a2 +⋯+ an)- 2⁢a1
であることを示せ.
(b) k=2 ,3 ,⋯ ,n に対して(*)が成り立つと仮定して
A=(a 1+a 2+⋯ +an )-2⁢ (n+1 )⁢a n+1
(ⅲ) (*)が k= n+1 に対して成り立つことを示せ.
(2)
an= 2 ⁢n-3 2⁢n ⁢ a n-1 ( n≧ 2)
(3) an を求めよ.