2004 上智大学 理工(数)学部2月12日実施MathJax

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2004 上智大学 理工学部

数学科

2月12日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1)  a は実数とし, xy 平面の直線 y= ax と点 P( x0, y0 ) の距離を l (x 0,y 0) とすると

l( x0, y0) = | ax0 -y0 | 1+ a2

であることを証明せよ.

(2) 以下 x> 0 y>0 の範囲で次の不等式を考える.

0< |a x-y| 1+a 2< 2 2x +y (*)

(ⅰ)  a=1 のとき(*)で定義される xy 平面上の領域を図示せよ.

(ⅱ)  a が有理数のとき(*)をみたす整数の組 (x, y) は有限個であることを示せ.

2004 上智大学 理工学部

数学科

2月12日実施

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 n に対して n- 1 個の複素数

zk= cos 2k πn +isin 2k πn k= 1 2 n-1

を考える.ただし i は虚数単位を表し π は円周率である.このとき,

{zr ,zr +1, ,z s}

という型の集合を鎖と呼ぶ.ここで 1 rs n-1 である.また,鎖に含まれる全ての複素数の和を,鎖の重さとよぶ.

(1)  1l< mn- 1 のとき, zl zm を共に含む鎖の個数を求めよ.

(2)  l を固定し zl を含む鎖の重さの総和を S とする.

(ⅰ)  n が偶数で n= 2l のとき, S は実数であることを示せ.

(ⅱ)  2l< n のとき, S の虚部は,正であることを示せ.

2004 上智大学 理工学部

数学科

2月12日実施

易□ 並□ 難□

【3】 数列 an

a1= 12 2an =a1 an -1+ a2 an- 2+ an-1 a 1 n2

で定義する.

(1) 

ak= 1 2k ( 1-a1 -a2 -- ak- 1) k 2 (*)

であることを以下の順により,帰納法で示せ.

(ⅰ)  k=2 のとき(*)は成り立つ.

(ⅱ)  n2 とし,

A= +a1 (a 1+a 2+ +an -2+ an- 1) + a2 (a1 +a2 ++ an-2 ) +a n-2 (a 1+a2 ) +a n-1 a1

とおく.

(a)  an の定義式を用いて

A=2 (a1 +a2 ++ an)- 2a1

であることを示せ.

(b)  k=2 3 n に対して(*)が成り立つと仮定して

A=(a 1+a 2+ +an )-2 (n+1 )a n+1

であることを示せ.

(ⅲ) (*)が k= n+1 に対して成り立つことを示せ.

(2)

an= 2 n-3 2n a n-1 n 2

であることを示せ.

(3)  an を求めよ.

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