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2004-13442-0201
2004 東京理科大学 理工学部B方式
情報科,工業化,機械工,土木工学科
2月4日実施
(1)〜(3)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の ア から マ までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 数列 { an } は,最初の 3 項が a 1=1 , a2= 4 ,a3 = 112 であり,また bn= an+1 -a n ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) とおくと,数列 { bn } は等比数列になるという.このとき, {b n} の一般項は
bn= ア ⁢ ( 1イ ) n-1
となり, {a n} の一般項は
an= ウ - エ⁢ ( 1 オ ) n-1
となる.したがって, limn→ ∞⁡ an= カ である.
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(2) 白球 6 個,黄球 3 個,赤球 3 個が入っている袋から,同時に 3 個の球を取り出す.
(a) 3 個とも赤球である確率は キ ク ケ コ である.
(b) 白球と黄球と赤球が 1 個ずつである確率は サ シ ス セ ソ である.
(c) 3 個の中に赤球がちょうど 2 個含まれている確率は タ チ ツ テ ト である.
(d) 3 個の中に赤球が含まれていれば, 1 個につき 5 万円の賞金がつくとする.たとえば,赤球が 2 個含まれていれば 10 万円の賞金がつく.このとき,同時に 3 個の球を取り出したときの賞金の期待値は ナ ニ ヌ (万円)である.
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(3) 関数 f⁡ (x ) を
f⁡( x)= limn→ ∞⁡ 7+6⁢ x+ | x| -2⁢x 2⁢n 1- xn+ x2⁢ n
とする.ただし, n は自然数である.
(a) 0≦x< 1 のとき, f⁡( x)= ネ ⁢ x+ ノ である.
(b) -1<x <0 のとき, f⁡( x)= ハ ⁢ x+ ヒ である.
(c) x=1 のとき, f⁡( x)= フ ヘ であり, x=-1 のとき, f⁡( x)= ホ である.
(d) |x |> 1 のとき, f⁡( x)= -マ である.
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配点30点
【2】 関数 f⁡ (x ) を
f⁡( x)= x2- 8⁢( sin⁡θ⁢ cos⁡θ )⁢x
とし, t=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおく.ただし, 0≦θ≦ π 2 である.
(1) t のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) f⁡( x) を, t と x を用いて表せ.
(3) -1≦x ≦1 における f⁡ (x ) の最大値を M , 最小値を m とするとき, M と m をそれぞれ t を用いて表せ.
(4) (3)で求めた M , m に対して, M-m を t の関数とみたとき, M-m のとりうる値の範囲を求めよ.
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30点
【3】 関数 f⁡ (x) ,g⁡( x) を
f⁡( x)= -a x+1 +b , g⁡( x)= em⁢ x
とする.ただし, a ,b ,m は正の定数である.曲線 C 1:y= f⁡( x) と曲線 C 2:y= g⁡( x) は x =0 と x =1 のとき,それぞれ交わり,曲線 C 2 の x =0 における接線の傾きは 1 である.ここに e は自然対数の底である.
(1) 定数 a , b ,m を求めよ.
曲線 C 1 と曲線 C 2 で囲まれた部分を D (ただし周上も含む)とする.
(2) 点 (x ,y) が D 上を動くとき, y-2⁢ x が最小になる点を (p ,q) とする. p と q の値を求めよ.
(3) D の面積を S とする. S を求めよ.