2004　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

このとき，

$p=-\boxed{\text{ア}}\text{，}q=-\boxed{\text{イ}}$

となる．

したがって，この整式$A$を${(x-1)}^2$で割った余りは

$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}x-\boxed{\text{オ}}$

となる．

ただし，$c$は自然対数の底であり，${f_n}^{\prime }(x)$は$f_n(x)$の導関数である．このとき，$b_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$であり，関係式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{a}_n\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{a}_n\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．したがって，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{シ}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\overrightarrow{b}$

と表せ，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の大きさは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．さらに線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とすると，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$のとき$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交する．そのときの$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$の大きさは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの$2$乗を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{RP}$の長さの$2$乗の和を$L$とする．$\cos \theta =t$とおき，$t$を用いて$L$を表せ．

(3)　$t$が$-1\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，(2)の$L$が最大となる$t$の値を求めよ．

(4)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，(2)の$L$が最大となる$\theta$は，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあることを示せ．

$f(x)=\log |1+(x-a)(b-x)|$

とおく．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$t=b-a$とおく．$a\text{，}b$が変化しても，$t$が一定ならば，積分${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$の値は一定であることを示せ．

(2)　$x\geqq 0$に対して，不等式

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \log (1+x)\leqq x$

が成り立つことを示せ．

(3)　$t=b-a$とし，$S(t)={\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$とおく．このとき，$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t^3}}$を求めよ．