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2004-13442-0501
2004 東京理科大学 薬学部B方式
2月7日実施
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 次の条件(*)を満たす自然数 i ,j ,k を考える.
i≦j≦ k かつ 1i+ 1j + 1k= 1 (*)
(a) このとき, i が取り得る最大の数は ア である.
(b) (*)を満たす i , j ,k の組は全部で イ 個ある.
(2) 次の条件(**)を満たす自然数 i ,j ,k を考える.
i≦j≦ k かつ 1i+ 2j + 3k= 1 (**)
(a) このとき, i が取り得る最小の値は ウ であり,最大の値は エ である.
(b) i= ウ のとき, j が取り得る最小の値は オ であり,最大の値は カ キ である.
(c) i= ウ+ 1 のとき, j が取り得る最小の値は ク であり,最大の値は ケ である.
(d) (**)を満たす i , j ,k の組は全部で コ 個ある.
2004-13442-0502
【2】 1 個のサイコロを n 回投げるとき, 1 の目がちょうど k 回出る確率を p k とする.
(1) pk= Ck n ⁢ ( サ シ ) k⁢ ( ス セ ) n-k である.
(2) n=20 のとき p k が最大となる k の値は ソ である.また, n=34 のとき p k が最大となる k の値は タ である.
(3) m を自然数とするとき
p0< p1< p2< ⋯<p m-1 <pm ≧pm +1
となるための必要十分条件は, n の範囲が
チ ⁢ m≦n≦ ツ ⁢ m+ テ
であることである.
2004-13442-0503
配点20点
【3】 座標空間において,頂点が
(0, 0,0) ,(1 ,0,0 ),( 0,1,0 ), (0,0 ,1) ,(1 ,1,0 ), (1,0 ,1) ,(0 ,1,1 ), (1,1 ,1)
の立方体を C とする.また, a>0 として, 3 点 (0 ,0,0 ), (1 ,0, a2 ), (0, 1, a2 ) を通る平面を α とする.このとき,立方体 C と平面 α の共通部分の図形を P とすると, P は多角形となる.
(1) 0<a≦ ト のとき, P は ナ 角形であり,その面積は ニ+ a ヌ ネ である.
(2) ト <a< ノ のとき, P は ハ 角形である.
(3) ノ ≦a のとき, P は ヒ 角形であり,その面積は フ ⁢ aヘ + ホ aマ である.
2004-13442-0504
配点30点
【4】 連続関数 f⁡ (x) ,g⁡( x) が次の条件を満たしているとする.
∫ 1x⁡ f⁡( t)⁢ dt=x ⁢g⁡( x)- a⁢x+ 2,
g⁡( x)= x2- x⁢ ∫01 ⁡f⁡ (t) ⁢dt- b,
g⁡( 1)= 0
このとき, a= ミ であり,
f⁡( x)= ム ⁢ x2+ メ ⁢ x- モ ,
g⁡( x)= x2+ ヤ ⁢ x- ユ
である.また, 2 曲線 y= f⁡( x) ,y=g ⁡( x) の交点の x 座標のうち正のものは ヨ - ラ リ である.また,これら 2 曲線と直線 x =1 で囲まれた部分の面積は
1 ル ⁢ ( レ ⁢ ロ -ワ )
である.