2004　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　次の条件(＊)を満たす自然数$i\text{，}j\text{，}k$を考える．

$i\leqq j\leqq k$かつ${\displaystyle \frac{1}{i}}+{\displaystyle \frac{1}{j}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}=1$(＊)

(a)　このとき，$i$が取り得る最大の数は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　(＊)を満たす$i\text{，}j\text{，}k$の組は全部で$\boxed{\text{イ}}$個ある．

(2)　次の条件(＊＊)を満たす自然数$i\text{，}j\text{，}k$を考える．

$i\leqq j\leqq k$かつ${\displaystyle \frac{1}{i}}+{\displaystyle \frac{2}{j}}+{\displaystyle \frac{3}{k}}=1$(＊＊)

(a)　このとき，$i$が取り得る最小の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，最大の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

(b)　$i=\boxed{\text{ウ}}$のとき，$j$が取り得る最小の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，最大の値は$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$である．

(c)　$i=\boxed{\text{ウ}}+1$のとき，$j$が取り得る最小の値は$\boxed{\text{ク}}$であり，最大の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(d)　(＊＊)を満たす$i\text{，}j\text{，}k$の組は全部で$\boxed{\text{コ}}$個ある．

【２】　$1$個のサイコロを$n$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$p_k$とする．

(1)　$p_k={}_{n}C_k{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\right)}^{n-k}$である．

(2)　$n=20$のとき$p^k$が最大となる$k$の値は$\boxed{\text{ソ}}$である．また，$n=34$のとき$p_k$が最大となる$k$の値は$\boxed{\text{タ}}$である．

(3)　$m$を自然数とするとき

$p_0<p_1<p_2<\cdots <p_{m-1}<p_m\geqq p_{m+1}$

となるための必要十分条件は，$n$の範囲が

$\boxed{\text{チ}}m\leqq n\leqq \boxed{\text{ツ}}m+\boxed{\text{テ}}$

であることである．

【３】　座標空間において，頂点が

$(0,0,0)\text{，}(1,0,0)\text{，}(0,1,0)\text{，}(0,0,1)\text{，}(1,1,0)\text{，}(1,0,1)\text{，}(0,1,1)\text{，}(1,1,1)$

の立方体を$C$とする．また，$a>0$として，$3$点$(0,0,0)\text{，}(1,0,{\displaystyle \frac{a}{2}})\text{，}(0,1,{\displaystyle \frac{a}{2}})$を通る平面を$\alpha$とする．このとき，立方体$C$と平面$\alpha$の共通部分の図形を$P$とすると，$P$は多角形となる．

(1)　$0<a\leqq \boxed{\text{ト}}$のとき，$\mathrm{P}$は$\boxed{\text{ナ}}$角形であり，その面積は$\sqrt{\boxed{\text{ニ}}+{\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}}$である．

(2)　$\boxed{\text{ト}}<a<\boxed{\text{ノ}}$のとき，$P$は$\boxed{\text{ハ}}$角形である．

(3)　$\boxed{\text{ノ}}\leqq a$のとき，$P$は$\boxed{\text{ヒ}}$角形であり，その面積は$\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}{a}^{\boxed{\text{ヘ}}}+\boxed{\text{ホ}}}{a^{\boxed{\text{マ}}}}}}$である．

【４】　連続関数$f(x)\text{，}g(x)$が次の条件を満たしているとする．

${\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt=xg(x)-ax+2$，

$g(x)=x^2-x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt-b$，

$g(1)=0$

このとき，$a=\boxed{\text{ミ}}$であり，

$f(x)=\boxed{\text{ム}}{x}^2+\boxed{\text{メ}}x-\boxed{\text{モ}}$，

$g(x)=x^2+\boxed{\text{ヤ}}x-\boxed{\text{ユ}}$

である．また，$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の交点の$x$座標のうち正のものは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}-\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．また，これら$2$曲線と直線$x=1$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ル}}}}(\boxed{\text{レ}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}}-\boxed{\text{ワ}})$

である．