2004　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}\text{，}\text{r}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　座標平面において，$y$軸上に点$\mathrm{A}(0,3)$と点$\mathrm{B}(0,1)$をとり，$x$軸上に点$\mathrm{C}(c,0)\text{（}c>0\text{）}$をとる．角$\angle \mathrm{ACB}$を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．

(a)　$c=2$のとき，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　$c$が$c>0$の範囲で変化するとき，$\theta$は$c=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}\text{，}\text{r}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　横一列に並んでいる$n$個の石がある．次の条件を満たすように，すべての石を赤または黒で塗る．

条件：赤い石と赤い石は隣り合わない

この条件を満たす塗り方の総数を$a_n$とし，その中で右端の石が黒である塗り方の総数を$b_n\text{，}$右端の石が赤である塗り方の総数を$c_n$とする．

(a)　$n=2$のとき，$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{b}_2=\boxed{\text{イ}}\text{，}{c}_2=\boxed{\text{ウ}}$であり，$n=3$のとき，$a_3=\boxed{\text{エ}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{オ}}\text{，}{c}_3=\boxed{\text{カ}}$である．

(b)　$n\geqq 3$のとき，

$\boxed{\text{p}}\boxed{\text{キ}}\times a_{n-1}-\boxed{\text{ク}}\times a_n+a_{n+1}=\boxed{\text{ケ}}$

$\boxed{\text{q}}\boxed{\text{コ}}\times b_{n-1}-\boxed{\text{サ}}\times b_n+b_{n+1}=\boxed{\text{シ}}$

$\boxed{\text{r}}\boxed{\text{ス}}\times c_{n-1}-\boxed{\text{セ}}\times c_n+c_{n+1}=\boxed{\text{ソ}}$

が成り立つ．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}\text{，}\text{r}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　一辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$からの距離の和が$3$である点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{F}$はこの条件

$\mathrm{BF}+\mathrm{DF}=3$

を満たしながら動く．このとき，次のことが成り立つ．

(a)　線分$\mathrm{EF}$の長さの最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(b)　$▵\mathrm{BFC}$の面積の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

(c)　点$\mathrm{F}$と直線$\mathrm{AC}$の距離が最小となるとき，線分$\mathrm{EF}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【２】(1)　$x$の関数$y$が，$t$を媒介変数として，次の式

$\{\begin{array}{l}x=1-\cos t\\ y=1+t-(\sin t+\cos t)\end{array}$

で表されるとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の関数として表しなさい．

【２】(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{{(x+1)}^2}}dx$を求めなさい．

【２】(3)　実数を成分とする$3$つの行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right)E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

を考える．

(a)　$AC=E$のとき，$c\text{，}d$を$a\text{，}b$で表しなさい．

(b)　$A^3=E$のとき，$a\text{，}b$を求めなさい．

(c)　$A^6=E$のとき，$a\text{，}b$を求めなさい．

【３】　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{CDEF}‐\mathrm{OAGB}$において，線分$\mathrm{CA}$および$\mathrm{BE}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{（}\mathrm{CM}:\mathrm{MA}=\mathrm{BN}:\mathrm{NE}=t:1-t\text{）}$とし，$▵\mathrm{MNG}$の定める平面を$V$とする．ただし，$t$は$0<t<1$なる実数である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{MG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$で与えられるベクトル$\overrightarrow{u}$が$V$に垂直であるとき，$\alpha \text{，}\beta$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$▵\mathrm{MNG}$の重心$\mathrm{P}$を通り，$V$に垂直な直線が線分$\mathrm{CE}$と交わるとき，$t$の値を求めなさい．

(4)　$▵\mathrm{MNG}$の重心$\mathrm{P}$を通り，$V$に垂直な直線が正方形$\mathrm{CDEF}$の内部あるいはその周上の点と交わるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めなさい．