Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2004年度一覧へ
大学別一覧へ
理科大一覧へ
2004-13442-0901
2004 東京理科大学 理学部B方式
数,物理,化学科
2月12日実施
(1)〜(3)合わせて配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)から(3)において, 内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.
(1) i を虚数単位とし, ω= -1+ 3⁢i 2 とする.このとき自然数 n を ア で割った余りが イ ならば (1 +ω) n=ω であり, n を ア で割った余りが, ウ ならば ( 1+ω )n =-ω となる.
2004-13442-0902
(2) t≧0 とするとき,座標平面において点 P が放物線 y= x2 上を動くときの,点 P と点 ( 0,t ) との距離の 2 乗の最小値を f⁡ (t ) とする.このとき f ⁡(1 )= エ オ である.また,曲線 y =f⁡( x) と, y 軸および直線 y =1 で囲まれた部分を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は
π× カ キ ク ケ
となる.
2004-13442-0903
(3) 3 次関数 f⁡ (x) =a⁢x 3+b⁢ x2+ c⁢x+ 3 の係数 a , b ,c は 1 から 9 までの自然数であるとする.このとき f′⁡ (x ) を f ⁡( x) の導関数として, x の 2 次方程式 f′⁡ (x )=0 の解がすべて整数であるような a , b ,c の組は全部で コ 個ある.またそれらのうちで, x の 3 次方程式 f ⁡(x )= f′⁡ (x ) の解がすべて整数であるのは a =サ , b= シ ,c= ス という組である.
2004-13442-0904
配点35点
【2】 関数 f⁡ (x) =x3 -3⁢ x2+2 ⁢x のグラフを C とし, C 上の互いに相異なる点の列 { Pn } が次の条件(*)をみたすように定められている:
(*) { 点 P1 は原点 O( 0,0) とは異なり,点 P1 における C の接線は原点 O を通る.n =1 ,2 ,3 ,⋯ に対して点 Pn +1 における C の接線は P n を通る.
また,点 P n の x 座標を x n , 直線 P nP n+1 と曲線 C で囲まれた部分の面積を S n とする.このとき次の問に答えよ.
(1) x1 を求めよ.
(2) xn+ 1 を x n の式で表せ.
(3) xn を n の式で表せ.
(4) a ,b を定数とするとき,一般に次の等式が成り立つことを,左辺に部分積分法を用いることで,証明せよ.
∫ ab⁡ (x -b) 2⁢( x-a) ⁢dx= 112 ⁢ (a -b) 4
(5) Sn を n の式で表せ.
2004-13442-0905
【3】 座標空間において,原点 (0 ,0,0 ) を中心とし, xy 平面に含まれる半径 1 の円 C を考える.そして, xy 平面の上側に,この円 C を底面とする高さ 32 の直円柱 D を考える.また,点 ( -1,0 ,0) を通り, y 軸に平行な直線を l とする.直線 l を含み, xy 平面と 30 ° で交わる平面 α により,この直円柱 D が二つの部分に分けられているとする.このとき,これらの部分のうち, α の下側の部分を M として次の問に答えよ.
(1) 点 (s ,0,0 ) (ただし, -1<s <1 )を通り yz 平面に平行な平面と, M との共通部分は長方形となるが,その面積を s を用いて表せ.
(2) 立体 M の体積を求めよ.