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2004 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(3)合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.

(1)  i を虚数単位とし, ω= -1+ 3i 2 とする.このとき自然数 n で割った余りが ならば (1 +ω) n=ω であり, n で割った余りが, ならば ( 1+ω )n =-ω となる.

2004 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(3)合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.

(2)  t0 とするとき,座標平面において点 P が放物線 y= x2 上を動くときの,点 P と点 ( 0,t ) との距離の 2 乗の最小値を f (t ) とする.このとき f (1 )= である.また,曲線 y =f( x) と, y 軸および直線 y =1 で囲まれた部分を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は

π×

となる.

2004 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(3)合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.

(3)  3 次関数 f (x) =ax 3+b x2+ cx+ 3 の係数 a b c 1 から 9 までの自然数であるとする.このとき f (x ) f ( x) の導関数として, x 2 次方程式 f (x )=0 の解がすべて整数であるような a b c の組は全部で 個ある.またそれらのうちで, x 3 次方程式 f (x )= f (x ) の解がすべて整数であるのは a = b= c= という組である.

2004 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x) =x3 -3 x2+2 x のグラフを C とし, C 上の互いに相異なる点の列 { Pn } が次の条件(*)をみたすように定められている:

(*)  { P1 は原点 O( 0,0) とは異なり,点 P1 における C の接線は原点 O を通る.n =1 2 3 に対して点 Pn +1 における C の接線は P n を通る.

また,点 P n x 座標を x n 直線 P nP n+1 と曲線 C で囲まれた部分の面積を S n とする.このとき次の問に答えよ.

(1)  x1 を求めよ.

(2)  xn+ 1 x n の式で表せ.

(3)  xn n の式で表せ.

(4)  a b を定数とするとき,一般に次の等式が成り立つことを,左辺に部分積分法を用いることで,証明せよ.

ab (x -b) 2( x-a) dx= 112 (a -b) 4

(5)  Sn n の式で表せ.

2004 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】 座標空間において,原点 (0 ,0,0 ) を中心とし, xy 平面に含まれる半径 1 の円 C を考える.そして, xy 平面の上側に,この円 C を底面とする高さ 32 の直円柱 D を考える.また,点 ( -1,0 ,0) を通り, y 軸に平行な直線を l とする.直線 l を含み, xy 平面と 30 ° で交わる平面 α により,この直円柱 D が二つの部分に分けられているとする.このとき,これらの部分のうち, α の下側の部分を M として次の問に答えよ.

(1) 点 (s ,0,0 ) (ただし, -1<s <1 )を通り yz 平面に平行な平面と, M との共通部分は長方形となるが,その面積を s を用いて表せ.

(2) 立体 M の体積を求めよ.

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