2004　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　座標平面上の領域$D$に関する次の条件$\mathrm{p}$を考える：

$\mathrm{p}$：「$D$内の点$(x,y)$で，$x\ne 0$かつ$x^2+y^2>1$をみたすものが存在する」

このとき次の問に答えよ．

(1)　次の各命題について，$D$の取り方によらず，条件$\mathrm{p}$を仮定すると必ず真となるか否かを判定せよ．それぞれの命題について，必ず真となる場合には，解答用マークシートの$1$をマークし，必ずしも真ではない場合には$0$をマークせよ．

(ア)　「点$\mathrm{P}(a,b)$が$a=0$または$a^2+b^2\leqq 1$をみたせば，$\mathrm{P}$は$D$内の点である」

(イ)　「点$\mathrm{P}(a,b)$が$a=0$または$a^2+b^2\leqq 1$をみたせば，$\mathrm{P}$は$D$内の点ではない」

(ウ)　「$D$内の点$\mathrm{P}(a,b)$で，$a\ne 0$または$a^2+b^2>1$をみたすものが存在する」

(エ)　「$D$内のすべての点$\mathrm{P}(a,b)$は，$a\ne 0$かつ$a^2+b^2>1$をみたす」

(オ)　「$D$内の点$\mathrm{P}(a,b)$で，$a^2+b^2>1$をみたすものが存在する」

(カ)　「$D$内には，点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$以外の点が存在する」

(キ)　「点$(1,1)$は$D$内の点である」

(ク)　「ある$r>1$に対して，原点を中心とする半径$r$の円周と$D$は共通部分をもつ」

(ケ)　「原点を中心とする半径$1$の円周上のどの点も$D$内の点ではない」

(コ)　「$D$は，原点を中心とする半径$1$の円の内部に含まれていない」

(2)　次の各条件について，それが条件$\mathrm{p}$の否定と同値になるか否かを判定せよ．それぞれの条件について，同値である場合には，解答用マークシートの$1$をマークし，同値ではない場合には$0$をマークせよ．

(ア)　「$D$内の点$\mathrm{P}(a,b)$で，$a=0$または$a^2+b^2\leqq 1$をみたすものは存在しない」

(イ)　「$D$内の点$\mathrm{P}(a,b)$で，$a=0$または$a^2+b^2\leqq 1$をみたすものが存在する」

(ウ)　「$D$内の点$\mathrm{P}(a,b)$で，$a\ne 0$かつ$a^2+b^2>1$をみたすものは存在しない」

(エ)　「$D$内のすべての点$\mathrm{P}(a,b)$は，$a=0$または$a^2+b^2\leqq 1$をみたす」

(オ)　「$D$内のすべての点$\mathrm{P}(a,b)$は，$a=0$かつ$a^2+b^2\leqq 1$をみたす」

【２】　座標平面上の，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を，時刻$t$のときの位置が$(\cos t^2,\sin t^2)$となるように動く点$\mathrm{P}$がある．このとき時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{v}$で動点$\mathrm{Q}$を定める．$t$が負でない実数を動くときの動点$\mathrm{Q}$の軌跡の一部は右の図のようになる．このとき次の問に答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．

(2)　時刻$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は自分自身と交わらないことを証明せよ．

(3)　$t\geqq 0$の範囲で，点$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分上に来るときの時刻$t$の値を小さい順に

$0=t_0<t_1<t_2<t_3<\cdots$

とする．

(a)　$\tan s$のグラフと$-2\sqrt{s}\text{（}s>0\text{）}$のグラフを活用して，$\underset{n\to \infty }{\lim }({t_{n+1}}^2-{t_n}^2)$を求めよ．（ヒント：$t_n$の正確な値を求める必要はない．）

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{t_n}{\sqrt{n}}}$の値を求め，それを用いて

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}(t_{n+1}-t_n)=\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　$x$の二つの関数

$f(x)={\log }_{\frac{1}{4}}({\sin }^{2}x)+{\log }_{\frac{1}{2}}(\sin x+\cos x)\text{，}$

$g(x)={\log }_2(\sin x)+{\log }_4(\cos x+1)$

について次の問に答えよ．

(1)　$0<x<\pi$の範囲で，$f(x)$が意味を持ちかつ不等式$f(x)\leqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．また，この範囲で$f(x)$が最小値を取る$x$の値$x_0$を求めよ．

(2)　

(a)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(b)　方程式$g(x)=0$は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<x_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす解$x_1$を持つことを示せ．また，$g(x)$は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq x_1$では単調増加，$x_1<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$では正であることを示せ．（この結果，$x_1$は一つに定まる．）

(3)　(1)で求めた$x_0$と(2)で定まる$x_1$について，$\cos x_0$と$\cos x_1$を比較することにより$x_0$と$x_1$の大小を決定せよ．