2004　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(1)　直線上に$4$点${\mathrm{G}}_1\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{G}}_2$が図のように左からこの順に間隔$1$で並んでいる．いま，動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から出発して次の規則で移動する．

「サイコロを投げて，$1$の目が出たら左に$1$だけ進み，そのほかの目が出たら右に$1$だけ進む．ただし，${\mathrm{G}}_1\text{，}{\mathrm{G}}_2$をゴールとし，ゴールに到着した後はどの目が出ても移動しない．」

$n$回サイコロを投げたときに$\mathrm{P}$がゴールにいる確率を$p_n$とすると，

$n$が偶数のとき，$p_n=1-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}\right)}^{\frac{n}{\boxed{\text{エ}}}}$

$n$が奇数のとき，$p_n=1-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}\right)}^{\frac{n-\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(2)　$a$を実数とし，行列$X$を$X=\left(\begin{array}{cc}2a+1& -2a+1\\ 8a-4& -6a+5\end{array}\right)$により定める．また，$E$を$2$次の単位行列とし，$O$を$2$次の零行列とする．

(a)　$X$を実数$k$と行列$Y$を用いて$X=kE+Y$と表すとき，$Y^2=O$となるとすると，$k=-\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}}$であり，

$Y=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}}& -2a+1\\ 8a-4& -\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}\end{array}\right)$

である．

(b)　自然数$n$に対し，$X^n$を(a)で求めた$Y$を用いて表すと，

$X^n={(-\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}})}^{n}E+n{(-\boxed{\text{ト}}a+\boxed{\text{ナ}})}^{n-1}Y$

であり，とくに，$a=1$のとき，

$X^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ニ}}n+\boxed{\text{ヌ}}& -\boxed{\text{ネ}}n\\ \boxed{\text{ノ}}n& -\boxed{\text{ハ}}n+\boxed{\text{ヒ}}\end{array}\right)$

となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(3)　座標平面上で，点$(1,0)$を中心とする半径$1$の円と放物線$y=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}(x^2-2x)$の交点の座標は，$x$座標の小さい順に

$(0,0)\text{，}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}})\text{，}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}})\text{，}(\boxed{\text{ヤ}},\boxed{\text{ユ}})$

であり，また，この円の内側とこの放物線の上側の共通部分の面積は，

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ヨ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}\text{レ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}}$

である．

【２】　関数$f(x)=e^{-x}\cos x\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　$f(x)$の極値を与える$x$の値をすべて求めよ．

(2)　区間$[0,\pi ]$における$f(x)$の最大値および最小値と，それらを与える$x$の値を求めよ．ただし，$[0,\pi ]$は，$0\leqq x\leqq \pi$であるような実数$x$全体の集合を表す．

(3)　$f(x)$の極小値を与える$x$の値を，小さい順に

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots \text{（}0<a_1<a_2<a_3<\cdots <a_n<\cdots \text{）}$

とする．

(a)　$a_n$を求めよ．

(b)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}f(a_n)$を求めよ．

【３】　$\log t$は$t$の自然対数を表し，$e$は自然対数の底を表す．

(1)(a)　${\displaystyle \int }{t}^2{(\log t)}^{2}dt$を求めよ．

(b)　${\displaystyle {\int }_1^e}{t}^2{(\log t)}^{2}dt$を求めよ．

(c)　${\displaystyle \int }\log tdt$を求めよ．

(d)　${\displaystyle {\int }_1^e}\log tdt$を求めよ．

(2)　正の実数全体を定義域とする連続関数$f(x)$が，すべての正の実数$x$に対して

$f(x)=x^2\log x-{\displaystyle {\int }_1^e}f(t)\log tdt$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$f(x)$を求めよ．

(b)　$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めよ．

(c)　$y=f(x)$のグラフの変曲点の$x$座標を求めよ．