2004　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】

(1)　$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．三角方程式

$\cos 3\theta =-\cos \theta$

をみたす$\theta$で最大のものは，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\times 180°$

である．

【１】

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$線分$\mathrm{BN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AT}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．また，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{カ}}\mathrm{AC}$のとき，$\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{CAT}$である．

【１】

(3)　実数$t$に対して，$[t]$は$t$を越えない最大の整数を表すとする．正の数$x$に対して，

$m=[{\log }_{10}{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{20}}]\text{，}n=[{\log }_{10}{\displaystyle \frac{800}{x}}]$

とおく．このとき，$3m+n$のとりうる値は

$-\boxed{\text{キ}}\leqq 3m+n\leqq -\boxed{\text{ク}}$

をみたす整数である．

【２】　円周上に反時計まわりに点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をとり，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を出発点として各点を反時計まわりに次の規則により動くものとする．

　点$\mathrm{P}$は，サイコロを投げて，奇数の目が出たら動かず，偶数の目$2\text{，}4\text{，}6$が出たら，それに応じて$1$つ，$2$つ，$3$つだけ反時計まわりに点を移動する．

　このとき次の問に答えよ．

(1)　サイコロを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(2)　サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$にいる確率を次のように求める．$n$回サイコロを投げた結果，点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にいる確率を，それぞれ，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$とすると，

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{6}{a}_n+\frac{\boxed{\text{シ}}}{6}{b}_n+\frac{\boxed{\text{サ}}}{6}{c}_n+\frac{\boxed{\text{サ}}}{6}{d}_n}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

となり，しがたって，$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{6}+\frac{\boxed{\text{セ}}}{6}{b}_n}$となる．よって，

$b_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{6^3}}$

である．

(2)　サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$がはじめて点$\mathrm{B}$に到達する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{6^3}}$

である．

【３】　実数$m$に対して，$m$の関数

$f(x)=3{\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-mx|dx$

の最小値について考察する．

(1)　$m\leqq 0$のとき，$f(m)=-\boxed{\text{テ}}m+\boxed{\text{ト}}$である．よって，この範囲においては，$f(m)$は$m=0$のとき最小値$\boxed{\text{ト}}$をとる．

(2)　$2\leqq m$のとき，$f(m)$は$m=2$のとき最小値$\boxed{\text{ナ}}$をとる．

(3)　$0\leqq m\leqq 2$のとき，$f(m)=\boxed{\text{ニ}}{m}^3+\boxed{\text{ヌ}}{m}^2-\boxed{\text{ネ}}m+\boxed{\text{ノ}}$である．

　$0\leqq m\leqq 2$における$f(m)$の増減を調べることにより，$f(m)$は$m=\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$のとき最小値$\boxed{\text{ヒ}}-\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$をとることがわかる．