2004　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】次の各問いに答えよ．

(1)　$0$から$9$までの数字が一つずつ書かれた$10$枚のカードから相異なる$4$枚を取り出して$4$桁の整数をつくる．このように$4$桁の整数をつくるとき，一の位，十の位，百の位のいずれの数字よりも千の位の数字の方が大きくなる確率は${\displaystyle \frac{5}{\boxed{\text{ア}}}}$である．

【１】次の各問いに答えよ．

(2)　$f(x)=3x^2-12x+{\displaystyle \frac{17}{36}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$を満たす関数$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】次の各問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}b$を$a^2+b^2\ne 0$を満たす実数とすると，$z={\displaystyle \frac{a-bi}{b+ai}}$は$z=\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}i$である．また，${\omega }^4=z$を満たす$\omega =c+di$の中で，$c>0\text{，}-25°<\arg \omega <25°$であるものを極形式で表すと，

$\omega =\boxed{\text{オ}}(\cos ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}°}{2}})+i\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}°}{2}}\left)\right)$

である．

【１】次の各問いに答えよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=0}^{18}}\cos (18°\times k)={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}+2\times \sqrt{\boxed{\text{ク}}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$．

【１】次の各問いに答えよ．

(5)　$x$を$x=\sqrt{3+x}$の解の中で$x>0$なるものとする．$[a]$を$a$を越えない最大の整数とするとき，$[x]$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　図のように，$x$軸上に中心をもつ$n$個の円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$を考える．各$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$に対して，円$C_k$は中心$(a_k,0)\text{（}0<a_1<a_2<a_3<\cdots <a_n\text{），}$半径$r_k$をもつ．隣接した円は互いに外接し，かつ直線$l:y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_k$と$r_k$の間には$a_k=\boxed{\text{サ}}{r}_k+\boxed{\text{シ}}$なる関係が成り立つ．

(2)　$r_{k+1}$を$r_k$で表すと$r_{k+1}=\boxed{\text{ス}}{r}_k+\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　点$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を$\mathrm{A}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$の円周上の点$\mathrm{P}$が常に$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=2:1$を満たすならば，$r_1={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(4)　円$C_k$の面積を$S_k$とするとき，$2\times {\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{タ}}}}({\boxed{\text{チ}}}^n-1)\pi$である．ただし，$r_1$は(3)で求めたものとし，$\pi$は円周率を表すものとする．

【３】　$2$つの曲線$C_1:y=x^2$および$C_2:x^2+{(x-a)}^2=r^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a=5$とする．$C_1$と$C_2$が$2$点でのみ交わるとき，$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{2}}$である．このとき，直線

$y=\pm 3\sqrt{\boxed{\text{テ}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{2}}$

は$C_1$と$C_2$の両方に接する．

(2)　$a=0$でかつ$C_1$と$C_2$は$3$点でのみ交わるとする．$D$を$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の中で最大の面積をもつものとするとき，$D$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{3}}\times \pi +\boxed{\text{ニ}}\times \sqrt{3}$

である．ただし，$\pi$は円周率を表すものとする．