2004　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】

(1)　$7$枚の硬貨を同時に投げるとき，表が出る枚数が$x$枚以下である確率を$P(x)$とする．$\mathrm{P}(x)>0.3$となる$x$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(2)　関数$y=3\sin \theta -4{\sin }^3\theta +1$の周期は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{3}}\times 180°$である．

【１】

(3)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{4a_n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$のとき，$a_{10}=\boxed{\text{ウ}}$となる．

【１】

(4)　複素数係数の方程式

$i{z}^2+\sqrt{2}z+\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3}{2}}i=0$

の$2$つの解を$a+bi\text{，}c+di$（ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）とする．このとき，$b+d$より大きい最小の整数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】

(1)　${(\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}})}^7$の展開式における定数項は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】

(2)　方程式$x^{{\log }_{2}x}={\displaystyle \frac{1024}{x^3}}$は$2$つの解をもつ．大きい方の解は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】

(3)　$2$つの曲線$y=x^2\text{，}y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$および直線$y=1$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{3}}$となる．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において

• $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{OC}=6$
• $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$

であるとする．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{ケ}}$

である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せば

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{49}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{サ}}}{49}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\boxed{\text{シ}}}{49}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$

である．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{7\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{2}}$である．

【４】　実数$x\ne 0$に対して，$X=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とする．

(1)　$X$の値が取り得る範囲は，$x<0$のとき$X\leqq \boxed{\text{セ}}$で，また$x>0$のとき$X\geqq \boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　$a$をある実数とし，$4$次方程式

$x^4+a{x}^3-x^2+ax+1=0$

を考える．$x=0$はこの方程式の解にはならないことに注意して，$X$の$2$次方程式に書き換えると$X^2+aX+\boxed{\text{タ}}=0$となる．したがって上の$4$次方程式は，$2a\leqq \boxed{\text{チ}}$のとき$x>0$で，$2$つの実数解（重解を含む）をもつ．また$2a\geqq \boxed{\text{ツ}}$のとき$x<0$で，$2$つの実数解（重解を含む）をもつ．とくに$2a=\boxed{\text{ツ}}$のとき，この$4$次方程式の実数解は重解で$\boxed{\text{テ}}$となる．

【２】

(1)　多項式${(\sqrt[3]{3}x+\sqrt{2})}^{100}$の展開式において，係数が整数である項の個数は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{2}}$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\cos }^n\theta -{\sin }^n\theta }{{\cos }^n\theta +{\sin }^n\theta }}=\boxed{\text{カ}}$である．

【２】

(3)　${\displaystyle \frac{3}{\log 2}}{\displaystyle {\int }_e^{2e}}{\displaystyle \frac{e}{x(3e-x)}}dx=\boxed{\text{キ}}$．

【４】　点$\mathrm{P}$が曲線$y=-e^x$上を動くとき，点$\mathrm{A}(0,1)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{Q}$のなす曲線を$f(x)$とすれば，

$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{3}+\frac{\boxed{\text{ソ}}}{3}{e}^{\boxed{\text{タ}}x}}$

である．この曲線$y=f(x)$と曲線$y=e^{2x}$の交点の$x$座標は$\log c\text{，}$ただし$c=\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}\text{，}$で表される．

　また$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=e^{2x}$および$y$軸で囲まれる図形の面積$S$は

${\displaystyle \frac{11}{18}+\frac{\boxed{\text{テ}}}{3}\log c+\frac{\boxed{\text{ト}}}{2}{c}^2+\frac{\boxed{\text{ナ}}}{9}{c}^3}$

で表される．

　$x>\log c$において$f(x)<e^{2x}$であり，曲線$y=f(x)$は$\boxed{\text{ニ}}$に凸，曲線$y=e^{2x}$は$\boxed{\text{ヌ}}$に凸であることから，三角形の面積と比較することにより$S\boxed{\text{ネ}}|{\displaystyle \frac{1}{3}}\log c|$であることがわかる．