2004　早稲田大学　教育学部MathJax

2004-13591-0501

2004　早稲田大学　教育学部

2月19日実施

易□　並□　難□

【１】　次のにあてはまる数を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　辺の長さが $5 ， 12 ， 13$ である三角形の内接円の半径は $ア$ である．

2004-13591-0502

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2月19日実施

易□　並□　難□

【１】　次のにあてはまる数を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　関数 $2 {(\cos x)}^{16} + 19 {(\sin x)}^{16}$ の最大値は $イ$ である．

2004-13591-0503

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2月19日実施

易□　並□　難□

【１】　次のにあてはまる数を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　実数 $x$ に対して， $f_{1} (x) = | x | - 1$ とする．さらに，自然数 $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ に対して， $f_{n + 1} (x) = f_{1} (f_{n} (x))$ と定義する．このとき，方程式 $f_{2004} (x) = 0$ の解の個数は $ウ$ である．

2004-13591-0504

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【１】　次のにあてはまる数を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{2000}$ は整数で，次の条件を満たしている．

(ⅰ)　 $- 1 ≦ x_{n} ≦ 2 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 2000 ）$
(ⅱ)　 $\sum_{n = 1}^{2000} x_{n} = 19$
(ⅲ)　 $\sum_{n = 1}^{2000} {x_{n}}^{2} = 99$

　このとき， $\sum_{n = 1}^{2000} {x_{n}}^{3}$ のとりうる最大値は $エ$ である．

2004-13591-0505

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【２】　 $n$ を自然数とする．座標平面上の $2 n + 2$ 個の点からなる集合

$L = {(x, y) | x ， y は整数， 0 ≦ x ≦ n ， 0 ≦ y ≦ 1}$

のうちの $3$ 点を頂点とする三角形をすべて考える．

　これらの三角形の面積の総和を求めよ．

2004-13591-0506

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【３】　座標平面上で， $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， \dots ， O_{n} ， \dots$ はすべて円であり，次の条件を満たしている．

(1)　 $O_{1}$ は，中心 $(0, \frac{1}{2}) ，$ 半径 $\frac{1}{2}$ の円である．
(2)　各 $O_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ の中心は $y$ 軸上にあり，その座標を $(0, p_{n})$ とすると， $0 < p_{n} < p_{n + 1}$ である．
(3)　各 $O_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ は放物線 $y = x^{2}$ に接し， $O_{n + 1}$ は $O_{n}$ に外接している．

　このとき，円 $O_{n}$ の直径，およびその中心の $y$ 座標 $p_{n}$ を求め， $n$ の式で表せ．

2004-13591-0507

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【４】　中心 $O ，$ 半径 $a$ の円を底面とし，高さが $a$ の直円 $\overset{すい}{錐}$ がある．点 $O$ を通り，底面と $45 °$ の角度で交わる平面を $P$ とする．

(1)　この円錐を $P$ で切るとき，その切り口の面積を求めよ．

(2)　 $P$ はこの円錐を $2$ つの部分に分けるが，そのうちの小さい方の体積を求めよ．

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