2004 早稲田大学 政治経済学部MathJax

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2004 早稲田大学 政治経済学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の空欄にあてはまる数値または式等を解答欄に記入せよ.ただし, t の式, s の式,からまでは数値で答えよ.

  OAB において考える.

 辺 OA 3: 2 に内分する点を C OB 3: 4 に内分する点を D とする.線分 AD と線分 BC との交点を P とし, AP:PD =t:1 -t 0< t<1 ), BP: PC=1 -s:s 0<s< 1 ), とする.また a = OA b = OB とする.

  OP a b t s を使って 2 通りに表すと,

となる. a b 0 でなく平行ではないから

{ 1-t = =s

が成立する.これを解いて, t= s = である.

 よって

OP = a + b

と表せる.

  OPA PDB の面積をそれぞれ S 1: S2 とするとき, OAB の面積を S とすると

S1 = S S 2= × 613 S = S

となる.よって

S1: S2= は最も簡単な自然数の比で答えよ.)

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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位とする.

(1) 次の空欄に最もあてはまる数値を解答欄に記入せよ.

 方程式 z 7=128 の解を極形式で表すと,

z= ( cos 360° ×n +i sin 360° ×n )

である.ただし, n は整数で 0 n

(2) 方程式 z3 -6 iz 2-12 z+8 i=27 を解け.

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易□ 並□ 難□

【3】  n を自然数とする. n n+ 2 n+ 4 がすべて素数であるのは n =3 の場合だけであることを示せ.

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易□ 並□ 難□

【4】 実数 x y の方程式

(A)  3x 2-2 x y+2 y2 -4 x+5 y+2= 0

について,次の各問いに答えよ.

(1)  y の値の範囲を解答欄に記入し,その理由を書け.

(2) 方程式(A)の解で, x y が共に整数であるものをすべて解答欄に記入し,その理由を書け.

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2月20日実施

易□ 並□ 難□

【5】 放物線 C: y=25- 36x 2 0 x がある.

  C x 軸と直線 x= a で囲まれる図形の面積を S 1 C x 軸と直線 x =a+1 で囲まれる図形の面積を S 2 とする. S1 S 2 の和を S とするとき,次の問いに答えよ.ただし, 0 a 1 2 とする.

(1)  S a の式で表せ.

(2)  S の最大値と最小値を求めよ.また,その場合の a の値を示せ.

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