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2004-13591-0601
2004 早稲田大学 政治経済学部
2月20日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の空欄にあてはまる数値または式等を解答欄に記入せよ.ただし,アは t の式,イは s の式,ウからケまでは数値で答えよ.
▵OAB において考える.
辺 OA を 3: 2 に内分する点を C , 辺 OB を 3: 4 に内分する点を D とする.線分 AD と線分 BC との交点を P とし, AP:PD =t:1 -t ( 0< t<1 ), BP: PC=1 -s:s ( 0<s< 1 ), とする.また a →= OA→ , b →= OB→ とする.
OP→ を a → ,b → ,t ,s を使って 2 通りに表すと,
となる. a→ と b → は 0 → でなく平行ではないから
{ 1-t = イ ア =s
が成立する.これを解いて, t= ウ ,s = エ である.
よって
OP→ = オ ⁢ a →+ カ ⁢ b→
と表せる.
▵OPA ,▵PDB の面積をそれぞれ S 1: S2 とするとき, ▵OAB の面積を S とすると
S1 = キ ⁢ S ,S 2= ク × 613 ⁢S = ケ ⁢ S
となる.よって
S1: S2= コ (コは最も簡単な自然数の比で答えよ.)
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【2】 次の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位とする.
(1) 次の空欄に最もあてはまる数値を解答欄に記入せよ.
方程式 z 7=128 の解を極形式で表すと,
z= ア ⁢ ( cos⁡ 360° ×n イ +i ⁢sin⁡ 360° ×n イ )
である.ただし, n は整数で 0≦ n≦ ウ .
(2) 方程式 z3 -6⁢ i⁢z 2-12 ⁢z+8 ⁢i=27 を解け.
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【3】 n を自然数とする. n ,n+ 2 ,n+ 4 がすべて素数であるのは n =3 の場合だけであることを示せ.
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【4】 実数 x , y の方程式
(A) 3⁢x 2-2 ⁢x⁢ y+2⁢ y2 -4⁢ x+5⁢ y+2= 0
について,次の各問いに答えよ.
(1) y の値の範囲を解答欄に記入し,その理由を書け.
(2) 方程式(A)の解で, x と y が共に整数であるものをすべて解答欄に記入し,その理由を書け.
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【5】 放物線 C: y=25- 36⁢x 2 ,0≦ x , がある.
C と x 軸と直線 x= a で囲まれる図形の面積を S 1 ,C と x 軸と直線 x =a+1 で囲まれる図形の面積を S 2 とする. S1 と S 2 の和を S とするとき,次の問いに答えよ.ただし, 0 ≦a≦ 1 2 とする.
(1) S を a の式で表せ.
(2) S の最大値と最小値を求めよ.また,その場合の a の値を示せ.