2004　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(1)　分数${\displaystyle \frac{2}{13}}$を十進小数で表したとき，小数点以下第$2000$位の数字は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(2)　$a>0$とする．$xy$平面上で，$y=x^2$のグラフと$y={|x|}^3+a$のグラフがちょうど$2$点を共有するとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(3)　$\alpha$が方程式$x^{11}=1$の虚数解であるとき，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{10}}{|{\alpha }^k-{\displaystyle \frac{i}{2}}|}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(4)　多項式${\displaystyle \sum _{k=0}^{19}}{(-x)}^k=1-x+x^2-x^3+\cdots +x^{18}-x^{19}$は，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{19}}{a}_k{(1+x)}^k=a_0+a_1(1+x)+a_2{(1+x)}^2+\cdots +a_{19}{(1+x)}^{19}$

と表せる．ただし，$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{19}$は定数である．

　このとき$a_2=\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}$である．

【２】　$\mathrm{CMMERCE}$という語を構成する$8$個の文字を円形に並べるとき，次の設問に答えよ．

(1)　並べ方は全部で何通りあるか．

(2)　同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか．

　ただし，相互の位置関係の同じ並べ方，すなわち回転すると重なる並べ方は同じものとみなす．

【３】　次の設問に答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(1)　次の式を満たす整数$k$の値を求めよ．

${10}^4<2^k<2\cdot {10}^4$

(2)　$2004$個の$2$の累乗，$2^1\text{，}{2}^2\text{，}{2}^3\text{，}\cdots \text{，}{2}^{2004}$のうち，十進法で表したとき，その最高位の数字が$1$であるものの個数を求めよ．