2004 早稲田大学 社会科学部MathJax

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2004 早稲田大学 社会科学部

2月22日実施

易□ 並□ 難□

【1】 定数 a a> 0 a 1 とし, f( x) g (x ) はそれぞれ x の関数とする.

  • f(x )=x 3-3 x2 +6 0 x 3
  • g(x )=log af (x )

 また,関数 g (x) の最小値は a の関数なので,これを m (a ) で表す.

 このとき,次の問に答えよ.

(1) 関数 f (x) の増減を調べよ(増減表をかけ).

(2) 関数 f (x) のとりうる値の範囲を求めよ.

(3)  a>1 のとき, m( a) を求めよ.

(4)  0<a <1 のとき, m( a) を求めよ.

(5)  m(a )=2 m( a)= -2 となる a の値をそれぞれ求めよ.

2004 早稲田大学 社会科学部

2月22日実施

易□ 並□ 難□

【2】  a を定数とする放物線

y=x 2-2 (a+ 1) x+1

について,次の問に答えよ.

(1) 放物線 の頂点 P の座標を求めよ.

(2) 放物線 x 軸と異なる 2 A B で交わるような a の値の範囲を求めよ.

(3) 三角形 PAB が正三角形となるとき, a の値を求めよ.

(4) 放物線 x 軸で囲まれる部分の面積を S 1 正三角形 PAB の面積を S 2 とするとき,比 S 1:S 2 を求めよ.

2004 早稲田大学 社会科学部

2月22日実施

易□ 並□ 難□

【3】

  n を自然数とするとき,連続した n 個の自然数の積は, n の階乗

n!=n (n- 1) (n-2 ) 21

で割り切れる.

 自然数 n に関するこの命題を,数学的帰納法によって,次のように証明した.

<証明>

〔1〕  n=1 のときは明らかにこの命題は成り立つ.

〔2〕 任意の自然数 k に対して, n=k のときにこの命題が成り立つ,すなわち,連続した k 個の自然数の積は k ! で割り切れる,と仮定する.

  m を自然数として,連続した k+ 1 個の自然数の積を

f(m )=m (m+ 1)( m+2) (m+k -1) (m+k )

とおく.

  m=1 のときは

f(1 )=

なので, f( m) (k +1) ! で割り切れる.

  m2 のとき

f(m +1)- f(m )=(k +1) g(m ) (A)

 ただし, g(m )=

となる.等式(A)で, m

m-1 m-2 m-3 2 1

を順次代入した式を考え,これら m- 1 個の等式の辺々を加えると,

f(m )-f (1)= (k+1 ) i = g (i )

が得られ,

f(m )=f (1)+ (k+1 ) i= g (i) (B)

となる.等式(B)において, f(1 ) (k +1) ! で割り切れ,さらに, i= g (i ) k ! で割り切れるので, f( m) ( k+1 )! で割り切れる.

 以上より, n=k+ 1 のときもこの命題は成り立つ.

 したがって,〔1〕〔2〕から,この命題はすべての自然数 n について成り立つ.

 このとき,次の問に答えよ.

(1)  にあてはまる数または式を求めよ.

(2)  にあてはまる数または式を求めよ.

(3)  にあてはまる数または式をそれぞれ求めよ.

(4) 証明の中で   を付した i = g( i) k ! で割り切れることの理由を詳しく説明せよ.

編者注 文中アンダーラインは本物では波線.

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