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を自然数とするとき,連続した個の自然数の積は,の階乗
で割り切れる.
自然数に関するこの命題を,数学的帰納法によって,次のように証明した.
<証明>
〔1〕 のときは明らかにこの命題は成り立つ.
〔2〕 任意の自然数に対して,のときにこの命題が成り立つ,すなわち,連続した個の自然数の積はで割り切れる,と仮定する.
を自然数として,連続した個の自然数の積を
とおく.
のときは
なので,はで割り切れる.
のとき
(A)
ただし,
となる.等式(A)で,に
を順次代入した式を考え,これら個の等式の辺々を加えると,
が得られ,
(B)
となる.等式(B)において,はで割り切れ,さらに,はで割り切れるので,はで割り切れる.
以上より,のときもこの命題は成り立つ.
したがって,〔1〕,〔2〕から,この命題はすべての自然数について成り立つ.
このとき,次の問に答えよ.
(1) にあてはまる数または式を求めよ.
(2) にあてはまる数または式を求めよ.
(3) にあてはまる数または式をそれぞれ求めよ.
(4) 証明の中で を付したはで割り切れることの理由を詳しく説明せよ.
編者注 文中アンダーラインは本物では波線.