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2004-14861-0101
2004 同志社大学 工学部A日程2月4日実施
(2)と合わせて配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1),(2)の文中の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 平面上に定点 A , B を AB =2 になるようにとる.点 P は条件 AP +BP= 4 をみたすように動くものとする. θ= ∠BAP とおくとき, AP の長さを θ を用いて表せば ア となり, ▵BAP の面積 S を θ を用いて表せば イ となる.面積 S の最大値は ウ であり,このときの cos ⁡θ の値は エ である.ただし, 3 点 A , B ,P が一直線上にあるときは S =0 とする.
2004-14861-0102
(1)と合わせて配点50点
(2) 変数 x の関数 f⁡ (x) を f ⁡(x )= ∫0x ⁡sin ⁡(x +t) ⁢dt で定義する.このとき, f⁡( x) は定数 A , B ,C を用いて f ⁡(x )=A ⁢cos2 ⁡x+ B⁢cos ⁡x+ C と表され, A = オ , B= 1 ,C = カ である. f⁡( x) は cos ⁡x= キ のとき,最大値 ク をとり, cos⁡x = ケ のとき,最小値 コ をとる.
2004-14861-0103
配点50点
【2】 曲線 C 1:y =x2 と C 1 上の 2 点 P (- c,c 2) , Q( c,c 2) ( c> 0) について,次の問いに答えよ.
(1) 2 点 P , Q を通る曲線 C 2:y =a⁢ x2+ b ( a<0 , b> 0 ) がある. 2 点 P , Q のそれぞれにおいて, C1 の接線と C 2 の接線が直交するとき, a ,b を c を用いて表せ.
(2) 2 点 P , Q を通り,中心が S (0 ,s) で半径 r の円 C 3 がある. 2 点 P , Q のそれぞれにおいて, C1 の接線と C 3 の接線が直交するとき, r と s を c を用いて表せ.
(3) x 軸上に点 T (c ,0) をとり, y 軸上の点 U (0 ,d) を, 2 点 Q ( c,c 2) , S(0 ,s) を通る直線が ∠ UQT を 2 等分するようにとる. d の値を求めよ.
2004-14861-0104
【3】 点 O を原点とする xy z 空間に 3 点 A (1 ,0, 0) , B( 0,1 ,0) ,C (0 ,0, 1) をとり, OA→ =a → , OB→ =b→ , OC →= c→ とする. α ,β を正の実数として OP→ =α⁢ a→ +β ⁢b →+ c→ となる点 P をとる.点 P を通り, OP→ と垂直に交わる平面を H とする.また,平面 H と x , y ,z 軸との交点をそれぞれ D , E ,F とする.次の問いに答えよ.
(1) DP→ と OP → が直交することを用いて点 D (d ,0, 0) の x 座標 d を α , β を用いて表せ.また,同様にして,点 E (0 ,e,0 ) の y 座標 e および点 F (0 ,0, f) の z 座標 f を α , β を用いて表せ.
(2) 四面体 ODEF の体積 V を α , β を用いて表せ.
(3) ▵DEF の面積 S を α , β を用いて表せ.
(4) α ,β が α2 +β 2= 3 をみたすとき,面積 S の最小値を求めよ.
2004-14861-0105
【4】 媒介変数 t を用いて x =t2 , y= -t3 +4⁢ t2 -5⁢ t+3 ( 0≦t ≦2 ) で表される x y 平面上の曲線 C について,次の問いに答えよ.
(1) 接線の傾きが 0 となる曲線 C 上の点の座標を求めよ.また,曲線 C の概形を描け.
(2) 曲線 C と x 軸, y 軸および直線 x =4 で囲まれた図形を D とする. D の面積 S を求めよ.
(3) D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.