2004　同志社大　経済学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$ に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$ の中に記入せよ．

　$2$次関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=k{x}^2-2(k+2)x+3k+2$（$k$は$0$でない定数）

　放物線$y=f(x)$のグラフが下に凸になる$k$の範囲は$\boxed{\text{ア}}$であり，上に凸になる$k$の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．また，放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．

　$2$次方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの正の解を持つ$k$の範囲は$\boxed{\text{オ}}$であり，異なる$2$つの負の解を持つ$k$の範囲は$\boxed{\text{カ}}$であり，正負の解を$1$つずつ持つ$k$の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=-a_n+2n-7\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$a_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　一辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AD}$に引いた垂線と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{PH}$の長さを$x(0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}})$とする．また，$\mathrm{DP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$ とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$をとり$\mathrm{BQ}$の長さを$y\text{（}0<y<1\text{）}$とする．さらに，$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{F}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{U}$とするとき，$\mathrm{FU}$の長さを$x\text{，}y$で表せ．また，$\mathrm{F}$から$\mathrm{AD}$に引いた垂線と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\mathrm{FV}$の長さを$x\text{，}y$で表せ．

(2)　$\mathrm{FD}$の長さを$x\text{，}y$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{FDQ}$の面積を$x\text{，}y$で表せ．