2004　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$があり，辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にそれぞれ，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=4\overrightarrow{\mathrm{OF}}$となるように点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\mathrm{DBC}$上に点$\mathrm{P}$をとると

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とおける（$s\text{，}t$は実数）．また，${|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}^2={|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}^2={|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}^2=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{ウ}}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値は，$s\text{，}t$の値に関係なく一定値$\boxed{\text{エ}}$となる．

(2)　$3$つの平面$\mathrm{DBC}\text{，}\mathrm{AEC}\text{，}\mathrm{ABF}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，点$\mathrm{Q}$は(1)と同様に，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とおける．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{\mathrm{OE}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と変形すると，$\mathrm{Q}$が平面$\mathrm{AEC}$上にあることより，$s\text{，}t$は，条件式

$\boxed{\text{カ}}=0\cdots \text{①}$

を満たす．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OF}}$より，$s\text{，}t$は条件式

$\boxed{\text{ク}}=0\cdots \text{②}$

を満たすから，$\text{①}\text{，}\text{②}$より，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．（$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$には数値を入れよ．）

(3)　直線$\mathrm{OQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{シ}}\overrightarrow{\mathrm{OR}}$であり，正四面体の体積は$\boxed{\text{ス}}$であるから，四面体$\mathrm{QABC}$の体積は$\boxed{\text{セ}}$となる．

【２】　ある豆腐屋さんで，$1$丁$240$円の豆腐を新製品として売る計画をたてた．この新製品を買うために来る客は，売り切れていない限り，$1$人が必ず$1$丁を購入するとする．また，$1$日の来客数は$1$人から$80$人までとし，$1$日の来客数が$k$人（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}80\text{）}$である確率はどれも等しいとする．売れ残った場合は廃棄しなければならない．$1$丁を作るのに要する費用は$60$円である．

　$1$日の利益の平均値を最大にするには，何丁作るとよいか，次の手順で考えた．

　$1$日に作る豆腐の数を$n\text{丁}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}80\text{）}$とする．

(1)　来客数が$k$人である確率は$\boxed{\text{ソ}}$である．売れ残る場合の売り上げ高は$\boxed{\text{タ}}$円である．

　$n$丁の豆腐が全部売り切れる確率は$\boxed{\text{チ}}$であり，そのときの売り上げ高は$\boxed{\text{ツ}}$円である．

(2)　(1)より，売り上げ高の平均値は$\boxed{\text{テ}}$円である．

(3)　$n$丁の豆腐を作るのに必要な費用は$\boxed{\text{ト}}$円であるから，$1$日の利益の平均値は$\boxed{\text{ナ}}$円である．

　したがって，$n=\boxed{\text{ニ}}$または$\boxed{\text{ヌ}}$のとき，$1$日の利益の平均値は最大となる．

【３】　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$とする．また，

${\gamma }_n={\alpha }^n+{\beta }^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}12\text{）}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\gamma }_3$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{12}}{\gamma }_n$の値を求めよ．

(3)　$p\text{，}q$を自然数とし，$p+q=12$を満たすならば，${\gamma }_p$と${\gamma }_q$は共役な複素数になることを証明せよ．