2004　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$a$と$k$は実数で，$a>0$とする．座標平面上に曲線

$y=x(x^2-a^2)\cdots \text{①}$

と直線

$y=kx\cdots \text{②}$

をとり，$\text{①}$と$\text{②}$は原点以外に異なる$2$点を共有点にもつとし，その$2$点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と表す．このとき，$k$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．

　また，線分$\mathrm{AB}$を直径とする円を$C$とすると，$C$の方程式は

$x^2+y^2=\boxed{\text{イ}}\cdots \text{③}$

となる．

　いま，曲線$\text{①}$と円$C$の共有点について考える．$\text{①}$と$\text{③}$から$y$を消去し，$X=x^2$とおくと，$X$の$3$次方程式

$X^3+(\boxed{\text{ウ}})X^2+(\boxed{\text{エ}})X+(\boxed{\text{オ}})=0$

が得られる．さらに，点$\mathrm{A}$において$\text{①}$と$C$は同じ接線をもち，また，点$\mathrm{B}$においても$\text{①}$と$C$は同じ接線をもつとする．このとき，$a$と$k$について

$\boxed{\text{カ}}{k}^2+\boxed{\text{キ}}k+1=0$

が成り立ち，$a$のとりうる値の範囲は$a\geqq \boxed{\text{ク}}$である．したがって，$a=\boxed{\text{ク}}$のとき，$\text{①}$と$C$は$2$点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$以外の共有点をもたないことがわかる．

　$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$は$a$または実数を用いて答えよ．

【２】　空間において，点${\mathrm{P}}_0(-2,1,1)$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{u}=(1,2,1)$である直線を$l_1\text{，}$点${\mathrm{Q}}_0(1,-2,1)$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{v}=(1,-1,1)$である直線を$l_2$とする．また，点${\mathrm{P}}_0$と${\mathrm{Q}}_0$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{p_0}\text{，}\overrightarrow{q_0}$とおく．いま，媒介変数$s$を用いて$l_1$上の点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$を

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_0}+s\overrightarrow{u}$

と表し，媒介変数$t$を用いて$l_2$上の点$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{q}$を

$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{q_0}+t\overrightarrow{v}$

と表す．なお，空間の原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$l_1$上に点${\mathrm{P}}_1$をとる．次に$l_2$上の点${\mathrm{Q}}_1$を，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1}$と$\overrightarrow{v}$が垂直になるようにとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}=\overrightarrow{q_0}+t_1\overrightarrow{v}$となる$t_1$は$\boxed{\text{ケ}}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}=\boxed{\text{コ}}$である．

　同様に，$l_2$上に点${\mathrm{Q}}_2$をとる．次に$l_1$上の点${\mathrm{P}}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2}$と$\overrightarrow{u}$が垂直になるようにとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{p_0}+s_2\overrightarrow{u}$となる$s_2$は$\boxed{\text{サ}}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=\boxed{\text{シ}}$である．

　したがって，$l_1$上の点と$l_2$上の点を結ぶ線分の長さの最小値は$\boxed{\text{ス}}$である．

(2)　$l_1$上の点${\mathrm{P}}_3(-1,3,2)$と$l_2$上の$2$点${\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_4$を，三角形${\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4$が正三角形となるようにとる．この三角形の一辺の長さは$\boxed{\text{セ}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_3}=\overrightarrow{q_0}+t_3\overrightarrow{v}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_4}=\overrightarrow{q_0}+t_4\overrightarrow{v}\text{（ただし，}{t}_3<t_4\text{）}$とすると，$t_3=\boxed{\text{ソ}}\text{，}{t}_4=\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を考え，線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$p\text{，}q$とする．ただし，$p\text{，}q$は正の定数とする．$x$軸の正の部分から線分$\mathrm{OA}$までのなす角を$\alpha$とし，線分$\mathrm{OA}$の延長で$\mathrm{O}$からみて$\mathrm{A}$の側にあるものから線分$\mathrm{AB}$までのなす角を$\beta$とする．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は一般角である．このとき，点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$である．

　いま，線分$\mathrm{OA}$が原点$\mathrm{O}$を中心に回転し，線分$\mathrm{AB}$が点$\mathrm{A}$を中心に回転する場合について考える．時刻$t$（ただし，$0\leqq t\leqq 2\pi$）において$\alpha \text{，}\beta$が

$\alpha =t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}\beta =t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

と表されているとき，点$\mathrm{B}$の速さは$p\text{，}q$および$t$を用いて$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$と書ける．したがって，点$\mathrm{B}$の速さは，$t=\boxed{\text{ト}}$で最大値$\boxed{\text{ナ}}$をとり，$t=\boxed{\text{ニ}}$で最小値$\boxed{\text{ヌ}}$をとる．また，$p={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}q={\displaystyle \frac{1}{4}}$とするとき，時刻$t=0$から時刻$t=2\pi$までに点$\mathrm{B}$が動いた道のりは，$\boxed{\text{ネ}}$である．

【４】　実数$p\text{，}q\text{（ただし}q\ne 0\text{）}$に対して，$3$つの実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$が

$a_1+a_2+a_3=0\text{，}{a}_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_1=p\text{，}{a}_1{a}_2{a}_3=q$

を満たしているとする．このとき，$D={(a_1-a_2)}^2{(a_2-a_3)}^2{(a_3-a_1)}^2$を$p\text{，}q$で表したい．（解答はすべて$p\text{，}q$または実数を用いて表せ．）

　いま

$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$

とおき，$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$と書く．このとき

$D=(\boxed{\text{ノ}})f^{\prime }(a_1)f^{\prime }(a_2)f^{\prime }(a_3)$

と表すことができる．一方，$3$つの関係式

$f^{\prime }(a_j)=\boxed{\text{ハ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{a_j}}\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

を同時に満たす$\boxed{\text{ハ}}$と$\boxed{\text{ヒ}}$がとれて，

$(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{a_1}})(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{a_2}})(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{a_3}})$

$=x^3+(\boxed{\text{フ}})x^2+(\boxed{\text{ヘ}})x+(\boxed{\text{ホ}})$

となる．

　以上を利用して$D=\boxed{\text{マ}}$と表すことができる．