Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2004年度一覧へ
大学別一覧へ
立命館大学一覧へ
2004-14891-0601
2004 立命館大学 理工学部,情報理工学部A方式2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a, b ,k は実数で a ≠0 とする.放物線
y=a⁢ x2 +b⁢ x-12 ⋯ ①
はその頂点の座標が (4 ,4) であり,放物線 ① と直線
y=-x +k⋯ ②
は異なる 2 点で交わっているものとする.
このとき, a= ア , b= イ であり, k のとりうる値の範囲は ウ で,交点の x 座標は k を用いて エ , オ と表される.ただし, エ < オ とする.
放物線 ① と直線 ② で囲まれた図形の面積を S とおくと, S= カ と表され,とくに, エ =0 のときは S = キ となる.
2004-14891-0602
【2】 空間に 3 点 A (1, 1,1 ), B (3 ,-1, -3) ,C (1 ,3,1 ) をとる.
(1) 三角形 ABC の面積は ク である.
(2) 空間の点 P を,ベクトル AP → が 2 つのベクトル AB → と AC → の両方に垂直で, AP= 5 であり,かつ, P の z 座標が正であるようにとる.このとき, P の座標は ケ である.
(3) 0<t <1 となる t について,線分 BC 上の点 Q を
BQ:QC =t: (1- t)
となるようにとる.このとき, Q の座標は ( コ , サ , シ ) である.また, 2 点 A と Q を通る直線上に Q と異なる点 R を RA =AQ となるようにとると, R の座標は ( ス , セ , ソ ) である.
(4) 以下では,(2)で求めた点 P と(3)で求めた点 Q , R について考える.
(ⅰ) 四面体 BCPR の体積は タ である.
(ⅱ) 2 つのベクトル PQ → と PR → が垂直となるのは t = チ のときである.
2004-14891-0603
【3】 i を虚数単位として,以下の設問に解答せよ.
(1) 係数が実数である 2 次方程式が虚数 a +b⁢ i (ただし, a ,b は実数で b ≠0 )を解にもつとき,もう一つの解は ツ である.
(2) 虚数 α ,β を係数にもつ 2 次方程式
z2+ α⁢ z+ β=0
が異なる虚数解 w 1 ,w 2 をもつとする.そのとき,係数が実数であり, w 1 ,w 2 を解にもつ 4 次方程式は
z4 +( テ )⁢ z3 +( ト )⁢ z2 +( ナ )⁢ z+ ( ニ ) =0
となる.(ただし, テ 〜 ニ は, α ,β およびそれと共役な複素数 α‾ , β ‾ を用いて表せ.)
(3) 方程式
z2+ 1 +( 2- 3 )⁢ i2 ⁢z+ 3+i 2 =0
の解は ヌ と ネ である.
2004-14891-0604
【4】 行列 A =( 3 1 2 4 ) について, An ( n は自然数)を求めたい.
実数からなる 2 つの数列 x 1 ,x 2 , ⋯ ,x n+1 と y 1 , y2 , ⋯ ,y n+1 を次のように定める.
( x k+1 yk+ 1 )= A( xk yk ) (k= 1 ,2 ,⋯ ,n )
このとき, x1 , y1 をどのようにとっても
xk+ 1+ p⁢y k+1 =q ⁢(x k+p ⁢yk ) (k= 1 ,2 ,⋯ ,n )
を満たす, A のみから定まる実数 p と q がとれる.この p の値は ノ と ハ である.ただし, ノ < ハ とする. x1 , y1 と n を用いて, p= ノ のときは
xn+ 1+ ノ ⁢ yn +1 = ヒ
と表され, p= ハ のときは
xn+ 1+ ハ ⁢ yn+ 1= フ
と表される.
以上を利用して
An= ( ヘ ホ マ ミ )
が得られる.