2004　立命館大　文系学部実施日不明MathJax

【１】　係数が実数である$3$次方程式

$p{x}^3-(2p-3)x^2+(p-2)x-1=0$

が，$1$つの実数解$\alpha$と$2$つの虚数解

$\beta =a+bi\text{，}\bar{\beta }=a-bi$

をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数解は，$\alpha =\boxed{\text{ア}}$である．また，$p$がとる値の範囲は$\boxed{\text{イ}}<p<\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$a^2+b^2$のとり得る範囲は$\boxed{\text{エ}}<a^2+b^2<\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$2$つの解$\beta \text{，}\bar{\beta }$が純虚数になる場合，$p=\boxed{\text{カ}}$である．このとき，${\alpha }^3+{\beta }^3+\overline{{\beta }^3}=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　右の図のように東西に$3$本，南北に$4$本の道路をもつ町がある．この町の$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ最短の道すじで移動する．最初に$\mathrm{A}$から北に進む確率と東に進む確率は，どちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．その後は十字路または三叉路（さんさろ）に来たときに進むべき方法が$2$つある場合，直進する確率を${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$曲がる確率を${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき

• $\mathrm{P}$を通る確率は$\boxed{\text{ク}}$，
• $\mathrm{Q}$を通る確率は$\boxed{\text{ケ}}$，
• $\mathrm{R}$を通る確率は$\boxed{\text{コ}}$

となる．

　また，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$にいたる道順は$\boxed{\text{サ}}$通りある．それぞれの道順に対して通る確率を計算するとき，最も高い確率は$\boxed{\text{シ}}$，最も低い確率は$\boxed{\text{ス}}$である．

【３】　与えられた多角形の辺に対して，次の操作を行う．

　はじめに与えられた多角形を$T_1$とし，その各辺について上の操作を行ったものを$T_2$とする．同様に$k=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$T_{k-1}$の各辺についての操作を行ったものを$T_k$とする．$T_1$を一辺の長さが$l$の正三角形とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$T_2$の周の長さを$l$を用いて表せ．

(2)　$T_3$の周の長さを$l$を用いて表せ．

(3)　$T_n$の周の長さを$l$と$n$を用いて表せ．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$とする．