2004　関西大　商学部Ａ方式2月8日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x$の$3$次式$x^3+m{x}^2-mx-1$を$x-1$で割ったとき，商は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$3$次方程式$x^3+m{x}^2-mx-1=0$の実数の解が$x=1$だけであるような整数$m$の値をすべて求めよ．

【２】　箱の中に数字$0$が書かれたカード$1$枚，$1$が書かれたカード$2$枚，$2$が書かれたカード$1$枚，合計$4$枚のカードが入っている．この中から$1$枚のカードを取り出し，そのカードに書かれた数字を記録し，カードをもとに戻すものとする．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　この操作を$3$回繰り返したとき，

• 記録した数字が$2\text{，}1\text{，}0$の順となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．
• $3$個の数字のうち，$1$が$2$個，$0$が$1$個である確率は$\boxed{\text{②}}$である．
• $3$個の数字のうちに，$2$以外の数字がある確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$君は，取り出したカードの数字の合計と同じ枚数の$100$円硬貨を受け取るものとし，次の$2$通りのやり方を選ぶことができるとする．

(ア)　カードを$1$回だけ取り出す．

(イ)　最初に取り出したカードの数字が$1$または$2$のときは，そこで止める．しかし，最初に取り出したカードの数字が$0$のときは，かならずもう$1$回カードを取り出して，そこで止める．

　このとき，

(ア)の場合に，受け取る金額の期待値は$\boxed{\text{④}}$円である．

(イ)の場合に，受け取る金額の期待値は$\boxed{\text{⑤}}$円である．

(3)　$\mathrm{A}$君は，カードを$1$回取り出すたびに$a$円を支払い，取り出したカードの数字の合計と同じ枚数の$100$円硬貨を受け取ることにした．このとき，(2)の(ア)，(イ)の$2$通りのやり方について，

(ア)の場合には

$(\text{受け取る金額の期待値})-(\text{支払う金額の期待値})=\boxed{\text{⑥}}(\text{円})$，

(イ)の場合には

$(\text{受け取る金額の期待値})-(\text{支払う金額の期待値})=\boxed{\text{⑦}}(\text{円})$

である．

だから，これら$2$通りのやり方について，

$a=\boxed{\text{⑧}}(\text{円})$である場合は，$\mathrm{A}$君にとっては，有利さは同じである．$a=80(\text{円})$である場合は，$\mathrm{A}$君にとっては，(ア)，(イ)のうち$\boxed{\text{⑨}}$の方が$\boxed{\text{⑩}}$円分だけ有利であると考えられる．

【３】　中心が点$(a,{\displaystyle \frac{a}{2}})$で，半径が$a$の円を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．また，この$2$交点の距離の最大値を求めよ．