2004　関西大　経済学部Ａ方式2月5日実施MathJax

【１】　不等式

${\log }_2(x-2)-{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(2x+3)<2{\log }_{2}x$

を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$は実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が解をもち，そのすべてが$0\leqq x\leqq 1$の範囲にあるとする．

(1)　$a\text{，}b$が満たす関係式を求め，それを満たす点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

(2)　$ab$平面上で点$\mathrm{Q}(0,{\displaystyle \frac{5}{2}})$をとり，点$\mathrm{P}(a,b)$は(1)の範囲を動くものとする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は，$a_1=1$であり，$a_n$が定まったときに，サイコロを投げ，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$のどれかの目が出たときは$a_{n+1}=2a_n$と定め，$5$か$6$の目が出たときは，$a_{n+1}=a_n+1$であると定める．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\{a_n\}$の最初の$4$項が$1\text{，}2\text{，}4\text{，}5$である確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$\{a_n\}$の第$4$項$a_4$が偶数である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$\{a_n\}$の第$4$項$a_4$が$a_4\leqq 6$である確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$\{a_n\}$の第$n$項までの和が$1+2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1}$である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$\{a_n\}$の第$4$項までの和の期待値は$\boxed{\text{⑤}}$である．