2004　関西学院大　理工学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$から$n$（$n$は$3$以上の自然数）までの数字を書いた$n$枚のカードから$3$枚を同時に取り出す時，それらに書かれた数字の最大値の期待値を求めたい．

　$n$枚のカードから$3$枚取り出す組み合わせは$\boxed{\text{（ア）}}$通りある．そのうち，最大値が$k$である組み合わせは$\boxed{\text{（イ）}}$通りあるから，最大値が$k$となる確率は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{（イ）}}}{\boxed{\text{（ア）}}}}$

である．したがって，最大値の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{（ウ）}}}{4}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$x$に関する方程式

$({\log }_{2}8x^2){({\log }_{2}x)}^2=k\cdots \text{①}$

が，相異なる$3$つの正実数解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$を持ち，この順で等比数列をなすような$k$の値を求めたい．

　$a={\log }_2\alpha \text{，}b={\log }_2\beta \text{，}c={\log }_2\gamma$とおく．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$がこの順で等比数列をなすことより，$a\text{，}b\text{，}c$の間には

$\boxed{\text{（エ）}}\cdots \text{②}$

の関係が成り立つ．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$\text{①}$の解であることより，

$\begin{array}{l}a+b+c=\boxed{\text{（オ）}}\cdots \text{③}\\ ab+bc+ca=\boxed{\text{（カ）}}\cdots \text{④}\\ abc=\boxed{\text{（キ）}}\cdots \text{⑤}\end{array}$

の関係が成り立つ．$\text{②}\text{〜}\text{⑤}$から$k=\boxed{\text{（ク）}}$が得られ，$a\text{，}b\text{，}c$は全て実数となる．よってこの$k$の値はたしかに題意を満たす．なお$\beta =\boxed{\text{（ケ）}}$である．

【２】　$xy$平面上に曲線$C:y={\displaystyle \frac{(x^2+3)}{3}}\sqrt{9-x^2}\text{（}-3\leqq x\leqq 3\text{）}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$y$の増減を調べ，$C$の概形を描け．ただし，凹凸・変曲点は調べなくてよい．

(2)　$C$と$x$軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　行列$M=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)$を考える．次の各問いに答えよ．

(1)　$M^2\text{，}{M}^3$を求めよ．

(2)　$n$が自然数のとき，$M^n$を$M$の定数倍または$M^2$の定数倍の形で表せ．

(3)　$x_1=1\text{，}{y}_1=0\text{，}{z}_1=1\text{，}{x}_{n+1}=-y_n\text{，}{y}_{n+1}=x_n+2z_n\text{，}{z}_{n+1}=-2y_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$で定められる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{，}\{z_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C:y=-x^3+7x$と，$C$を$x$軸方向，$y$軸方向ともに$1$だけ平行移動した曲線$C^{\prime }$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$x$座標が$s$である点における$C$の接線を求めよ．

(2)　$x$座標が$t$である点における$C^{\prime }$の接線を求めよ．

(3)　$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$の両方に接する直線の本数を求めよ．