2004　関西学院大　理工学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　行列$A\text{，}E$を$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 5\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．実数$x\text{，}y$に対する方程式

$(A-\alpha E)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

が$x=y=0$以外の解を持つのは実数$\alpha$が$\boxed{\text{（ア）}}$または$\boxed{\text{（イ）}}$（ただし$\boxed{\text{（ア）}}<\boxed{\text{（イ）}}$）のときである．

$A\left(\begin{array}{c}3\\ \boxed{\text{（ウ）}}\end{array}\right)=\boxed{\text{（ア）}}\left(\begin{array}{c}3\\ \boxed{\text{（ウ）}}\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{（エ）}}\end{array}\right)=\text{（イ）}\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{（エ）}}\end{array}\right)$

を用いて，$A^n$（$n$は自然数）を求めると，$A^n$の$(1,2)$成分は$\boxed{\text{（オ）}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$f(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{4x}-{\displaystyle \frac{10}{3^x}}+9$は$x=\boxed{\text{（カ）}}$のとき最小値$\boxed{\text{（キ）}}$をとる．また，$f(x)=0$の解は$x=\boxed{\text{（ク）}}\text{，}\boxed{\text{（ケ）}}$（ただし$\boxed{\text{（ク）}}<\boxed{\text{（ケ）}}$）である．

【２】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=x$であるようにとり，点$\mathrm{S}$を辺$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BS}=x$であるようにとる．ただし，$0<x<1$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を頂点とする四面体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$V$を$x$の式で表せ．

(2)　$x$が変化するとき，$V$の最大値を求めよ．

【３】　$n$が自然数のとき，曲線$C_n:x=\sin t\text{，}y=\sin 2nt(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．$C_n$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$軸の$0<x<1$の部分と$C_n$との交点の個数を求めよ．

(2)　$S_1$を求めよ．

(3)　$S_2$を求めよ．

(4)　$C_n$と$x$軸とで囲まれる部分を$x$軸の周りに回転してできる立体の体積を$V_n$とする．$n\to \infty$のとき，$V_n$の収束，発散を調べよ．収束するときはその極限値を求めよ．

【４】　赤と白の玉が入っている袋から$1$個の玉を取り出し，それを袋に戻すと同時に同じ色の玉をもう$1$個袋の中に入れる操作について考える．はじめは袋には赤と白の玉が$1$個ずつ入っているとし，上記の操作を$n$回繰り返した後の袋の中の赤い玉の個数を$R_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，(1)から(3)までについては途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1\leqq k\leqq 3$のとき$R_2=k$となる確率$a_k$を求めよ．

(2)　$1\leqq k\leqq 4$のとき$R_3=k$となる確率$b_k$を求めよ．

(3)　$1\leqq k\leqq 5$のとき$R_4=k$となる確率$c_k$を求めよ．

(4)　一般に$n\geqq 2$のとき，$R_n=1$となる確率$P(R_n=1)$を求めよ．

(5)　一般に$n\geqq 2\text{，}2\leqq k\leqq n+1$のとき，$R_n=k$となる確率$P(R_n=k)$を求めよ．

[参考]　$n=1$の場合を表す模式図を右に示す．