2004　関西学院大　経済学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　ある工場では，機械$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を使って$2$種類の製品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を製造している．製品$\mathrm{A}$を$1$台製造するためには，$\mathrm{P}$で$3$分，$\mathrm{Q}$で$1$分の作業が必要であり，製品$\mathrm{B}$を$1$台製造するためには，$\mathrm{P}$で$1$分，$\mathrm{Q}$で$2$分，$\mathrm{R}$で$1$分の作業が必要である．どの機械も製品$1$台ずつの作業しかできない．また，機械$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はそれぞれ$1$日に$1000$分，$800$分，$500$分しか作動させることができない．製品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$1$台あたりの利益をそれぞれ$50$万円，$40$万円とするとき，最も多く利益を上げるためには，製品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をそれぞれ$1$日あたり何台製造すればよいか考えたい．製品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$1$日あたりの製造台数をそれぞれ$x$台，$y$台とすると，機械$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の作動時間の制限から，$x$と$y$に関する不等式

$\boxed{\text{（ア）}}\cdots \mathrm{(1)}\text{，}\boxed{\text{（イ）}}\cdots \mathrm{(2)}\text{，}\boxed{\text{（ウ）}}\cdots \text{(3)}$

が成り立つ．また，明らかに

$x\geqq 0\cdots \mathrm{(4)}\text{，}y\geqq 0\cdots \mathrm{(5)}$

である．この工場の$1$日の利益は

$\boxed{\text{（エ）}}\text{万円}\cdots \mathrm{(6)}$

と表せるから，結局$\mathrm{(1)}$から$\mathrm{(5)}$を満たす$x$と$y$のうち，$\mathrm{(6)}$を最大とするものを見つけることになる．そのような$x$と$y$は，それぞれ$\boxed{\text{（オ）}}$と$\boxed{\text{（カ）}}$である．したがって，製品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をそれぞれ$\boxed{\text{（オ）}}$台と$\boxed{\text{（カ）}}$台製造するとき，最大利益$\boxed{\text{（キ）}}$万円が得られる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\cos x=t$とおく．$\cos x+\cos 2x+\cos 3x$を$t$の式で表したものを$f(t)$とすると，$f(t)=\boxed{\text{（ク）}}$となる．$f(t)=0$を解くと$t=\boxed{\text{（ケ）}}\text{，}\boxed{\text{（コ）}}\text{，}\boxed{\text{（サ）}}$である．よって$0°\leqq x\leqq 180°$の範囲で方程式

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$

の解は，$x=\boxed{\text{（シ）}}\text{，}\boxed{\text{（ス）}}\text{，}\boxed{\text{（セ）}}$である．ただし，$\boxed{\text{（シ）}}<\boxed{\text{（ス）}}<\boxed{\text{（セ）}}$の順に書くこと．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$xy$平面上に放物線$C:y=2x^2+3$がある．$C$上の点$\mathrm{T}(t,2t^2+3)$（ただし，$t\ne 0$）を通る$C$の接線の方程式は$y=\boxed{\text{（ア）}}x+\boxed{\text{（イ）}}$である．また，$\mathrm{T}$を通り，この接線に垂直な直線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{（ウ）}}x+\boxed{\text{（エ）}}$である．$\mathrm{T}$を通り，$y$軸と平行な直線$m$上の任意の点を$\mathrm{P}(t,\alpha )\text{，}l$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(X,Y)$とする．すると，$\mathrm{PQ}$は$l$に垂直だから，$Y-\alpha =\boxed{\text{（オ）}}(X-t)$となる．また，$\mathrm{PQ}$の中点は$l$上にあるので${\displaystyle \frac{Y+\alpha }{2}=\boxed{\text{（ウ）}}\frac{X+t}{2}+\boxed{\text{（エ）}}\text{．}}$これらから$\alpha$を消去すると，$Y=\boxed{\text{（カ）}}X+\boxed{\text{（キ）}}\text{．}$ゆえに，$l$に関して$m$と対称な直線$n$の方程式は$y=\boxed{\text{（カ）}}x+\boxed{\text{（キ）}}$となる．この方程式から，$\mathrm{T}$が$C$上を動くとき，直線$n$は定点$(\boxed{\text{（ク）}},\boxed{\text{（ケ）}})$を通ることがわかる．

【３】　$p\geqq -1$のとき，$S(p)={\displaystyle {\int }_p^{p+1}}|x^2-1|dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(p)$を求めよ．

(2)　$S(p)$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．