2004　関西学院大　総合政策学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$から$n$までの番号が$1$つずつついた$n$個の赤玉と，$1$から$m$までの番号が$1$つずつついた$m$個の白玉（$n\text{，}m$は自然数）を$3$つの箱$X\text{，}Y\text{，}Z$に分けて入れる．ただし，$1$個も玉の入っていない箱があってもよいことにする．入れ方は全部で$\boxed{\text{（ア）}}$通り，箱$X$に白玉が$1$つも入らないような入れ方は$\boxed{\text{（イ）}}$通り，箱$X\text{，}Y$に白玉が$1$つも入らないような入れ方は$\boxed{\text{（ウ）}}$通りある．また，$1$つの箱に$m$個の白玉のみが入っているような入れ方は$\boxed{\text{（エ）}}$通り，$1$つの箱に$n$個の赤玉のみが入っているような入れ方は$\boxed{\text{（オ）}}$通りある．この中で$3$つの箱がそれぞれ赤玉のみ，白玉のみ，空となるような入れ方は$\boxed{\text{（カ）}}$通りある．これらのことから，赤玉と白玉がともに$1$個以上入っている箱が$1$つ以上あるような入れ方は$\boxed{\text{（キ）}}$通りある．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標空間内で，$3$点$\mathrm{A}(0,0,5)\text{，}\mathrm{B}(1,3,4)\text{，}\mathrm{C}(-2,2,3)$の定める平面を$\alpha \text{，}2$点$\mathrm{D}(0,0,-5)\text{，}\mathrm{E}(2,-2,1)$を通る直線を$l$とする．$\alpha$と$l$の交点$\mathrm{F}$の座標は （ア） である．$l$上の点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\boxed{\text{（イ）}}$（$t$は実数）と表せる．$\mathrm{P}$から$\alpha$に下した垂線の足を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の座標は$t$を用いて$\boxed{\text{（ウ）}}$と表せる．したがって，$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{（エ）}}\text{，}\mathrm{FQ}=\boxed{\text{（オ）}}$であり，三角形$\mathrm{FPQ}$は直角三角形であるから，その面積$▵\mathrm{FPQ}=\boxed{\text{（カ）}}$となる．$\boxed{\text{（ア）}}\text{，}\boxed{\text{（イ）}}\text{，}\boxed{\text{（ウ）}}$は$(a,b,c)$（$a\text{，}b\text{，}c$は数値または式）の形で答えること．

【３】　$xy$平面上に放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^2-\frac{3}{2}}$と$C$上にない点$\mathrm{A}(a,b)$がある．$C$上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直である直線を，$\mathrm{P}$における$C$の法線とよぶことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{3}{t}^2-\frac{3}{2}})$を結ぶ直線が$\mathrm{P}$における$C$の法線であるとき，$t\text{，}a\text{，}b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$を通る$C$の法線が$3$本存在するとき，$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．