2004　西南学院大学　全学部Ｆ日程MathJax

【１】

1.　${(x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^7$を展開したときの$x^8$の係数は$\boxed{\text{アイ}}$である．

　${(x^3+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^8$を展開したときの定数項は$\boxed{\text{ウエ}}$である．

　${(x+y+z)}^8$を展開したときの$x^3{y}^{2}z$の係数は$\boxed{\text{オカ}}$である．

【１】

2.　原点を$\mathrm{O}(0,0)$とし，$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3)$を両端とする線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）がある．方程式$kx-y+5k=0$で与えられる直線を$l$とする．ただし，$k$は，実数の定数とする．

(1)　直線$l$は$k$の値にかかわらず，点$(\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケ}})$を通る．

(2)　直線$l$が線分$\mathrm{AB}$と共有点をもつときの$k$のとり得る値の範囲は，$\boxed{\text{コ}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．また，このとき共有点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表すと${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}}k}{1+k},\frac{\boxed{\text{ソ}}k}{1+k})}$である．

【２】

1.　$a\text{，}b$を実数の定数とし，$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx-(a+b+7)=0$の$1$つの解が$2+i$であるとする．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，$a\text{，}b$の値を求めると，$a=\boxed{\text{タチ}}\text{，}b=\boxed{\text{ツテ}}$である．また，$3$次方程式の実数解は$\boxed{\text{ト}}$である．

【２】

2.　$x$軸の正の部分を始線とし，原点$\mathrm{O}$を中心に回転する動径がある．$-195°$の動径上の点$\mathrm{A}(-1,a)$を考える．ただし，$a$は定数である．

(1)　このとき$a=\boxed{\text{ナ}}-\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

(2)　直線$y=-ax$と放物線$y=b{x}^2+cx+1$は，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(1,-a)$で交わるとする．

　このとき，$b=\boxed{\text{ヌネ}}\text{，}c=-\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$となり，直線と放物線とで囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

【３】　曲線$C:y=x^3-3x$と点$\mathrm{A}(2,a)$を考える．

(1)　曲線$C$上の点$(t,t^3-3t)$における接線の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通って$C$に$3$本の接線が引けるような定数$a$の値の範囲を求めよ．