2004　西南学院大学　文学部英文，外（英，仏）Ａ日程MathJax

【１】

1.　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\tan A={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}\sin C={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\mathrm{AC}=3+2\sqrt{5}$とするとき，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オカ}}}}\text{，}$そして三角形の外接円の直径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【１】

2.　$\mathrm{P}$を$xy$平面上の点とし，円$C:x^2+y^2=1$と直線$l:y=-2$を考える．円$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し，$\mathrm{PQ}$の最小値を$d_1\text{，}\mathrm{P}$から直線$l$までの距離を$d_2$とし，$d_1=d_2$が成り立つとする．

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}{x}^2-\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(2)　$\mathrm{P}$から円$C$に$2$本の接線を引いたときの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\angle \mathrm{APB}=60°$となるときの$\mathrm{P}$の座標は$(\pm \sqrt{\boxed{\text{セ}}},\boxed{\text{ソタ}})$である．

【２】

1.

(1)　$9^x{25}^y=5^x{3}^{y+6}$を満たす整数$x\text{，}y$を求めると$x=\boxed{\text{チ}}\text{，}y=\boxed{\text{ツ}}$である．

【２】

2.

(2)　${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}-9{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+4<0}$を解くと$-\boxed{\text{テ}}<x<\boxed{\text{ト}}$である．

【２】

2.　空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,2,1)\text{，}\mathrm{B}(3,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(4,2,-3)\text{，}\mathrm{D}(2,1,6)$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．また，点$\mathrm{D}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面へ下ろした垂線の足の座標は$(\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ハヒ}},\boxed{\text{フ}})$である．

【３】　$a$を定数とし，$2$つの曲線を$C_1:y=|x^2-2x|\text{，}{C}_2:y=a{(x-1)}^2$とする．

(1)　$a=3$のとき，$C_1$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が$4$つの交点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．