2004　西南学院大学　商，人間科学部福祉Ａ日程MathJax

【１】

1.　$a$を実数の定数として，異なる$2$つの実数解をもつ$2$次方程式を$x^2+ax+a^2-3=0$とする．

(1)　$-1$が方程式の$1$つの解ならば，もう$1$つの解は，$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　方程式において$1$つの解のみが負ならば，$-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}<a\leqq \sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(3)　方程式において$2$つの解がともに負ならば，$\sqrt{\boxed{\text{エ}}}<a<\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

2.　$-2\sin \theta +2\sqrt{3}\cos \theta$を$a\sin (\theta +\alpha )$の形で表すとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{キクケ}}°$である．ただし，$\alpha$は，$0°\leqq \alpha <360°$とする．

　$-2\sin 735°+2\sqrt{3}\cos 735°=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．また，$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}cm$の扇形$\mathrm{OAB}$について，弦$\mathrm{AB}$の長さが$4cm$であるとき，この扇形の$\angle \mathrm{AOB}$は$\boxed{\text{シス}}°$である．ただし，$\angle \mathrm{AOB}$は，$0°\leqq \angle \mathrm{AOB}<180°$とする．

【２】

1.　平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,3)\text{，}\mathrm{B}(5,1)\text{，}\mathrm{C}(6,2)$とする．

(1)　原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{H}$の座標は${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}},\frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}})}$であり，線分$\mathrm{OH}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{O}$の周りに一回転したとき，三角形$\mathrm{ABC}$の通過する領域の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}\pi }$である．

【２】

2.(1)　$({\log }_3\sqrt{\sqrt[3]{64}}+{\log }_9\sqrt[3]{64})({\log }_2\sqrt{81}+{\log }_4\sqrt[4]{81})=\boxed{\text{ノ}}$

(2)　$\sqrt{9^3}-\sqrt[3]{{64}^2}-\sqrt[4]{81}=\boxed{\text{ハ}}$

(3)　${\log }_{10}2=a\text{，}{\log }_{10}3=b$とするとき，

• ${\log }_{10}72=\boxed{\text{ヒ}}a+\boxed{\text{フ}}b$
• ${\log }_{12}\sqrt[3]{96}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}+b}{\boxed{\text{ホ}}(2a+b)}}$

【３】　$x$軸の正の部分を始線とし，原点$\mathrm{O}$を中心に回転する動径がある．$30°$の動径上に$\mathrm{OP}$の長さが$2$となる点$\mathrm{P}$をとる．いま，点$\mathrm{P}$を通り$x=0$で最大値$2$をとる$2$次関数$f(x)$と$2$次関数$g(x)=a{x}^2$を考える．ただし，$a$は定数である．

(1)　関数$f(x)$の式を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分に，長方形$\mathrm{ABCD}$を内接させる．ただし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，二つの放物線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の交点となっている．このとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大になるときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)において長方形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大のとき，二つの放物線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．