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を,その頂点をとする.
(1) 頂点の座標は
である.したがって,どのような定数についても,頂点は
のグラフ上にある.
(2) がの範囲を動くとする.頂点の座標の値が最大となるのはとのときであり,最小となるのはのときである.
(3) の値を(2)で求めたとするときの放物線をそれぞれとする.放物線の方程式は
である.
このとき
である.
(4) を座標平面上に図示したとき,それらの位置関係を表す最も適当なものは,下の図のうちである.ただし,座標軸や曲線名は省略してある.
三つの放物線で囲まれた図形の面積は である.
【5】 さいころを最大回まで投げ,目の出方に応じてポイントを得る次のゲームをさんがおこなう.さんは最初ポイントをもっている.
さいころを投げて,またはの目が出る事象をとする.事象が初めて起こった時点ではポイントを得て引き続きゲームを続行し,度目に事象が起こればポイントが加算されて合計ポイントを得て,その時点でゲームを終了する.なお、さいころを回投げても,事象が一度しか起こらない場合には,度目に得たポイントのままで終了する.もし回投げても事象が一度も起こらない場合には、あらかじめ定めたポイントが減点されて終了する.ただし,とは自然数で,とする.
このゲームが終了した時点でのさんのもつポイント数を確率変数とする.
(1) となる確率はである.
(2) ちょうど回目でゲームが終了する確率はであり,終了する時点が回目または回目となる確率はである.
(3) 回目までに一度も事象が起こらない確率はである.
また,回目までに一度も事象が起こらないとき,となる条件付確率はである.
(4) 確率変数の平均(期待値)は
で,となるような最大の自然数はである.【6】 ある銀行では毎期末に預金残高に対しの利率で利息がつく.この銀行に,たとえば万円を一期間預金すると,期末には 万円の預金残高になることになる.
第期の初めに,さんはこの銀行に万円の預金を持っている.さんは,まず万円から第期分万円を引き出す.残りの預金に対し第期末にの利息がつく.ここで,とする.第期目からも毎期初めにこの預金から万円ずつを引き出す予定である.ただし,預金残高が万円に満たないときは,その全額を引き出すものとする.
以下の問題中,はを超えない最大の整数を表す関数である.
(1) 預金残高が円になるのに何期間を要するかを調べるため,次の〔プログラム1〕を作った.このプログラムでは,自然数とを与えるとき,第期初めに預金を引き出した直後に預金残高が円になれば,そのときの自然数を出力する.
〔プログラム1〕
100 INPUT "B=";B
110 INPUT "M=";M
120 N=0
130 N=N+1
140 B=1.05*(B-M)
150 IF B>0 THEN GOTO
160 PRINT N
170 END
このプログラムの空欄をうめて,プログラムを完成せよ.
(2) このプログラムの 160
行を変更して,最終期の引き出し金額の万円未満を切り捨てたものも出力するようにするには,160
行をと変更すればよい.ただし,この金額の単位は万円とする.また,については,当てはまるものを,次のから一つ選べ.
PRINT N,INT(B)
PRINT N,INT(B+M)
PRINT N,INT(B−M)
PRINT N,INT(1.05*B)
PRINT N,INT(B/1.05+M)
PRINT N,INT(B/1.05−M)
(3) 第期初めの預金額を万円,引き出し額を万円とすると第期末の預金残高は,約万円となり,第期初めの万円より増える.
一般に,毎期の始めに万円引き出すものとし,第期末の預金残高を万円とする.このとき,であるので
が成り立つ.ただし,とする.
よってならば,預金残高は減少しないことがわかる.ここで,はとによって決まり,を満たす最大の自然数はである.
(4) 次に,さんの預金残高が期間にわたり円にならないために必要な第期初めの預金額万円を計算するため,次の〔プログラム2〕を作った.このプログラムでは,自然数とを与えるとき,預金残高が期間にわたり円にならないために必要な第期初めの預金額万円を計算する.ただし,とする.
〔プログラム2〕
100 INPUT "N=";N
110 INPUT "M=";M
120 I=N
130 B=M
140 B=B/1.05+M
150 I=I−1
160 IF I>1 THEN GOTO
170 PRINT
180 END
このプログラムの空欄とをうめて,このプログラムを完成せよ.ただし,については,当てはまるものを,次のから一つ選べ.
INT(B)
INT(B/1.05)
INT(B/1.05+1)
INT(B+1)
INT((B+1)/1.05)
このプログラムを実行して N=?
に対し,M=?
に対しを入力したとき,170
行においてと出力される.このとき,140
行は回実行される.