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(★) の範囲で極大値と極小値をもつ
を満たすとする.
(1) このとき,定数が満たす条件を求めよう.
●導関数 について,方程式はの範囲に二つの異なる解をもつ.したがって,が変数全体を動くときの導関数の最小値は負である.
●が最小値をとるの値はとの間にある.
●との値はである.ただし,に当てはまるものを,次のから一つ選べ.
ともに正 | ともに負 |
一方が正,もう一方が負 | ともに |
一方がもう一方が正 | 一方がもう一方が負 |
以上から,関数が条件(★)を満たすような点全体を座標平面上に図示すると,下の図の影をつけた部分となり,その部分の面積はである.ただし,については,当てはまるものを,下の図から一つ選べ.
(2) 関数が条件(★)を満たすようなで,ともに整数となるのはのみである.このとき,関数はで極大となる.
と変形できるので,の最大値はである.
を満たす整数を,それぞれ座標,座標とする座標平面上の点の集合をとする.集合から点を選ぶ試行を独立に回繰り返し,選んだ点を順にとする.
(1) 集合の要素の個数は,である.したがって,点を選ぶ場合の数はである.点がすべて異なる確率は
である.
(2) 点がすべて異なり,傾きが正の同一直線上にあるとする.このとき,その傾きは自然数となり,その範囲は
である.
は不等式を満たす自然数とする.点がすべて異なり,かつそれらが傾きの同一直線上にあるような点の選び方の総数を求めよう.たとえば,点を,点を,点をとする選び方はその例である.求める場合は,全部で
通りある.
(3) 確率変数を次のように定める.
● 選んだ点がすべて異なり,かつそれらが,傾きが正の同一直線上にあるとき,点の座標の最大値と最小値の差をの値とする.
● それ以外のとき,とする.
は(2)の不等式を満たす自然数とする.点がすべて異なり,かつそれらが傾きの同一直線上にあるとき,である.
以下,とする.このとき,の平均(期待値)は
であり,の平均は
である.したがって,の分散は
である.
【6】 自然数の正の平方根の整数部分を求めるために,以下の考察をおこなった後,プログラムを作成する.
(1) 自然数が
を満たしているとする.ただし,とは自然数とする.このとき
のどちらか一方が成り立つ.不等式はとおくととなる.不等式は,とおくととなる.特に,のとき,の解がの整数部分となっている.に当てはまるものを,それぞれ次のから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
(2) を満たす最小の整数に対してとおくと,が成立している.つまり
である.そこで(1)での考察を用いてプログラムを作成する.
〔プログラム〕
100 INPUT "X=" ; X
110 A=1
120 IF A*A
X THEN GOTO 150
130 A=2*A
140 GOTO 120
150 A=A/2
160 B=A/2
170 IF B<1 THEN GOTO
180 IF (A+B)*(A+B)
X THEN A=A+B
190 B=B/2
200 GOTO
210 PRINT A
220 END
このプログラムのか所の空欄をうめて,プログラムを完成せよ.ただし,とについては,当てはまるものを,それぞれ次のから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
>=
>
=
<=
<
(3) このプログラムを実行し,変数 X
にを入力する.160
行を終了したとき,変数 A
の値は,変数 B
の値はであり,プログラム終了時における 210
行の出力はである.また,変数 X
にを入力すると,140
行は回,200
行は回実行される.
(4) このプログラムの 120
行と 180
行をそれぞれ
120 IF A*A*A
X THEN GOTO 150
180 IF (A+B)*(A+B)*(A+B)
X THEN A=A+B
と変更すると,X
の乗根の整数部分を求めるプログラムになる.